Keglesnittenes historie kort

Ellipser blev allerede studeret af de gamle grækere. Ellipsen er den ene type af de såkaldte keglesnit. De andre to typer af keglesnit er parablen og hyperblen. Oprindelsen af teorien for keglesnit er noget uklar, men kan meget vel have at gøre med problemet med Terningens fordobling, der jo er et af de klassiske problemer i antikken: at konstruere en terning med dobbelt så stort volumen som en given terning (se Klassiske konstruktioner). Det blev først i 1800-tallet endeligt bevist, at denne konstruktion er umulig med passer og lineal, men i antikken søgte man ihærdigt at finde konstruktioner. Man har i den forbindelse brug for at kunne konstruere tallet kubikroden af 2. Allerede i det femte århundrede før Kristus reducerede Hippokrates problemet med at fordoble en terning med sidelængde a til at finde to såkaldte mellemproportionaler x og y mellem længderne a og 2a. Hermed menes at konstruere to længder x og y, så følgende forhold er de samme: a : x =x : y = y : 2a. I moderne sprogbrug svarer det til på én gang at løse alle følgende tre ligninger:

- ligninger, som repræsenterer parabler i de første to tilfælde og en hyperbel i det sidste tilfælde. Menaechmus (4. århunderede før Kristus) studerede kurverne, som tilfredsstiller hver af disse ligninger og han var den første til at indse at ellipser, parabler og hyperbler kunne fremkomme som snit i en kegle. Selv om man således indså, at løsningen til terninge-fordoblings-problemet kunne fås som en skæring mellem parabler og hyperbler, så gav de som nævnt ikke nogen " rigtig" , for kurverne kan kun konstrueres " punktvist" med passer og lineal. De kunne således ikke bruges som led i en konstruktion med passer og lineal. Det vigtigste i denne sammenhæng er imidlertid, at terninge-problemet gav anledning til at studere keglesnit.

Apollonius (ca. 262 - ca. 190 før Kristus) er den matematiker, som først og fremmest nævnes i forbindelse med teorien for keglesnit. Han skrev 8 bøger om emnet og de repræsenterer et af højdepunkterne i antikken. Det vil føre for vidt her at komme ind på de mange egenskaber, som Appolonius udledte for keglesnittene.

Keglesnittene dukker op i mange sammenhænge i naturvidenskaben. Som et af de mest spektakulære eksempler kan det nævnes, at Johannes Kepler i 1600-tallet postulerede, at planeterne bevæger sig i ellipsebaner om solen, hvilket senere blev underbygget af Newtons teorier om massetiltrækning.

 

De tre keglesnit

Apollonius definerede de tre kurver som snit i en kegle. Nedenfor har jeg illustreret de tre tilfælde. I hvert enkelt tilfælde har jeg afbildet situationen set fra siden og derefter situationen set i 3D. I første tilfælde, hvor man foretager et snit, hvor vinklen u i forhold til keglens " kant" er større end topvinklen i keglen, vil snitplanen passere igennem ud på den anden " side" af keglen, og man opnår en ellipse. Hvis man derimod snitter med en plan, som har samme vinkel som keglens topvinkel, så fås en parabel. Endeligt fås en hyperbel, hvis snitvinklen u er mindre end topvinklen.

 

 

 

 

 

Nedenfor en model i træ af en kegle med tilhørende keglesnit.

 

Ellipsen

Man kunne som Apollonius og andre definere ellipsen på ovenstående måde som et snit i en kegle og derefter udlede en række egenskaber for snitkurven. Man vælger dog undertiden at definere ellipsen anderledes, som jeg vil gøre her.

 

Definition

Lad der være givet en linje l (ledelinje), et punkt F (brændpunkt) og et tal e (excentriciteten) større end 0 og mindre end 1. Da defineres en ellipse, som bestånde af de punkter P, som opfylder at afstanden til brændpunktet F er lig med afstanden til ledelinjen l ganget med e:

Ellipsens ligning

Vi skal i det følgende udlede en ligning for ellipsen udfra definitionen ovenfor. Vi starter med at tegne en x-akse igennem brændpunktet F, vinkelret ind på ledelinjen l. Det er ret indlysende, at der på denne x-akse er to punkter, som ligger på ellipsen. Dette kan indses helt præcist på følgende måde: Afsæt to hjælpepunkter H1 og H2 på l et vilkårligt stykke q fra x-aksen. Oprejs derefter en normal til x-aksen i brændpunktet F. Stykket eq ude af normalen afsættes hjælpepunktet H3. Linjen gennem H1 og H3 skærer x-aksen i et punkt A, og linjen gennem H2 og H3 skærer x-aksen i et punkt B. Disse to punkter opfylder betingelserne for at ligge på ellipsen, hvilket indses ved at betragte ensvinklede trekanter på figuren. Detaljerne overlades til læseren.

Vi kan nu glemme alt om hjælpepunkterne, som kun skulle bruges til at påvise eksistensen af de to ellipsepunkter på x-aksen. Indfør nu tallet a som halvdelen af afstanden mellem A og B. Anbring herefter praktisk en y-aksen lige imellem A og B, så A og B får koordinaterne henholdsvis (-a,0) og (a,0). Brændpunktets koordinater betegner vi med (x1,0) og ledelinjens ligning betegner vi x = x2 . At A og B ligger på ellipsen kan også udtrykkes ved, at følgende to ligninger er opfyldt:

som er to ligninger med to ubekendte i de ubekendte x1 og x2.

En hurtig løsning af ligningssystemet ovenfor giver:

Hermed kendes beliggenheden af alle de relevante punkter og linjer. Spørgsmålet er hvad man kan sige om de øvrige punkter - udover A og B - som ligger på ellipsen? For at besvare det tyr vi igen til definitionen af ellipsen og anvender udtrykkene for de forskellige størrelser, udledt ovenfor:

Indfører man en ny parameter ved

viser ovenstående, at ellipsen består af alle de punkter (x,y), som tilfredsstiller ligningen:

Parametrene a og b kaldes for henholdsvis ellipsens storakse og ellipsens lilleakse. Af definitionen på b ser vi efter en lille omskrivning, følgende udtryk for excentriciteten:

Hvis vi spejler brændpunktet F i y-aksen, får vi et nyt punkt F1 med koordinaterne (-ea,0) og spejler vi ledelinjen l i y-aksen, får vi en ny linje l1 med ligningen x = -a/e.Man ser nemt af ligningen for ellipsen i boksen ovenfor, at ellipsen er symmetrisk om både x- og y-akse. På grund af sidstnævnte symmetri og de nye definitioner kan ellipsen derfor også karakteriseres som følgende punktmængde:

Heraf fås sammen med den oprindelige definition:

Situationen kan ses på følgende figur:

 

 

 

Ellipsens sumegenskab

Mængden af punkter på ellipsen med storakse a består netop af de punkter (x,y) i planen, hvor summen af afstandene til de to brændpunkter F og F1 er lig med den konstante værdi 2a.

 

Vi har ovenfor allerede vist, at hvis et punkt ligger på ellipsen, så er summen af punktets afstande til F og F1 lig med 2a. Vi mangler at vise den anden vej, dvs. at hvis et punkt har den egenskab, at summen af dets afstande til henholdsvis F og F1 er lig med 2a, så ligger punktet på ellipsen. Dette er nødvendigt for det kunne jo være, at der fandtes punkter som opfyldte sumegenskaben, men som ikke lå på ellipsen! Betegn afstanden fra P til F med d og afstanden fra P til F1 med d1. Vi antager altså, at

og vil nu lidt bagklodt prøve at udregne et udtryk på to måder:

Sammenligner vi de to højresider i (1) og (2), får vi:

men så haves:

hvormed det er vist, at punktet ligger på ellipsen! Ellipsens sumegenskab er altså bevist.

 

Tegning af ellipse

Ellipsen har mange andre egenskaber, og vi har endda ikke engang bevist, at vi med ovenstående definition af ellipsen har, at en ellipse kan fås som et snit i en kegle. Dette er kun blevet postuleret. Jeg vil slutte med udledningerne her og henvise den interesserede læser til supplerende litteratur (se eventuelt nedenfor) for en gennemgang af ellipsens og de øvrige keglesnits egenskaber. Det jeg gerne ville have fat i var ellipsens sumegenskab, for den indikerer, at man kan frembringe ellipsekurven på en snedig måde:

 

Konstruktion

Tag et stykke snor og bind enderne sammen, så der fremkommer en lukket kurve. Anbring to nåle eller søm i brændpunkterne. Læg den lukkede kurve omkring nålene og tegn endelig med en blyant, mens snorkurven holdes udspændt.

 

Hvis du ønsker en ellipse med en bestemt storakse a og en bestemt lilleakse b, så udregn lige først excentriciteten e efter den allerede nævnte formel:

Anbring derefter sømmene i den indbyrdes afstand 2ea. Den lukkede kurve sørger du for har omkredsen 2a + 2ea, svarende til summen af de tre afstande d, d1 og d2 på figuren. Derefter er det bare at gå i gang.

 

Tegning af æg

Enhver rigtig matematiker vil nu uvilkårligt spørge sig selv, hvad der sker, hvis man ændrer lidt på definitionen for ellipsen: hvad får man så ud af det? Man kunne for eksempel prøve at kigge på mængden af punkter i planen, som givet to brændpunkter F og F1, opfylder:

hvor n, m og k er passende positive konstanter. Jeg har en gang set denne type kurver omtalt i en bog eller artikel af Martin Gardner, som er den skribent, som i mange år leverede stof til den spalte i Scientific American, som hed Mathematical Games. Jeg har bare glemt hvilken! Hvis n = m så er det oplagt, at man får ellipsen, hvis altså k er stor nok! Dividér nemlig bare med den fælles konstant n = m på begge sider .... Er n og m derimod forskellige, så fås en kurve, som for visse værdier kan komme til at ligne et æg. Jeg har regnet på forskriften og fået et meget langt og ikke særligt spændende udtryk. Og da matematikere altid søger " skønheden" og da skønheden ofte er lig med " enkelhed" , så vil jeg spare læseren for dette.

Man kan imidlertid for visse værdier af n og m sagtens selv konstruere sig frem til kurven på en måde, som ligner tilfældet med ellipsen. Tag for eksempel n = 2 og m = 3. Det gælder så om at skabe dobbelt snor til det højre søm og tredobbelt snor til det venstre søm. Dette kan praktisk gøres ved at fastgøre den ene ende af snoren til det venstre søm, køre nogle gange rundt om søm og blyant og slutte af med at fastgøre den anden ende af snoren til blyanten! Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Derefter kører man blyanten rundt samtidigt med, at man sørger for, at snorene er udspændt. Du vil måske sige, at det kun fungerer i teorien. Jeg har prøvet det selv - og det virker! Man skal bare være lidt omhyggelig.

Nedenfor har jeg vist ægkurven, når man anbringer to brændpunkter i henholdsvis (-10,0) og (10,0) og anvender parametrene 2 og 3 som ovenfor, men med forskellige værdier for k. Hvis k vælges tilstrækkelig lille kan man endda opnå, at kurven ikke kan " nå rundt om" det ene eller begge brændpunkter. Det kan dog give en fin figur alligevel. Du må nøjes med de to tilfælde, jeg har tegnet nedenfor. I det første tilfælde, hvor k er ret lille bliver ægget spids, hvorimod det bliver mere rundt i det andet tilfælde, hvor der er lidt mere " snor" .

 

 

 

Et lille kunstværk

Mange kunstnere igennem tiderne har ladet sig inspirere af geometriske former. Som Piet Hein, der valgte superellipseformen til sit design, fordi den matematisk definerede kurve virkede harmonisk. Du kan jo prøve ved hjælp af snore at lave dit eget lille kunstværk med ellipser og ægkurver, som jeg med møje og besvær fik gjort i CorelDraw på figuren nedenfor. God fornøjelse!


 

Falsk superellipse

En læser har foreslået, at man kan lave en superellipse ved at anvende fire brændpunkter i stedet for to, anbringe en snor i form af en lukket kurve rundt om alle fire punkter og derefter tegne kurven ved at køre en blyant rundt i snoren, så sidstnævnte er udstrakt. Desværre kan man ikke lave en superellipse på denne måde. Den resulterende kurve vil nemlig blive en sammensætning af 8 ellipsebuer, som følgende argumenter viser:

På figuren nedenfor deler de røde linjer planen i blandt andet 8 områder. Lad os kalde snorlængden for k. I område 1 vil brændpunkt B slet ikke komme i spil under konstruktionen. Derimod vil summen af afstandene fra et kurvepunkt til henholdsvis A og C være lig med:

Derfor er den pågældende kurvestump en del af en ellipse med brændpunkter i A ogC og med storakse lig med k1. I område 2 er kurvestumpen af lignende årsager en del af en ellipse med brændpunkter i B og A og med storakse lig med:

Tilsvarende for de øvrige områder.

 

 

I øvrigt har de fire endepunkter i en rigtig superellipse alle krumningsradius lig med uendelig, hvilket også er forklaringen på dens stabile egenskaber. Derimod har ellipsen ingen punkter med uendelig krumningsradius. Bemærk, at den stykvist definerede kurve ikke ser specielt harmonisk ud. I områderne 1, 3, 5 og 7 ser buerne unaturligt flade ud i sammenhæng med resten af kurven. Derfor er det nok tvivlsomt om denne kurve vil blive en designmæssig succes, på trods af dens enkle definition!

 

Link

Egg Curves (Fremragende og meget detaljeret side om matematiske kurver. Kig også på hovedsiden http://www.mathematische-basteleien.de/).

 

 

Litteratur

Hvis du søger bøger, der grundigt gennemgår teorien for keglesnit på gymnasieniveau, så kan du blandt mange konsultere:

P.O. Andersen, S. Bülow, H.J. Helms. Matematik - for gymnasiet, 2A. Gyldendal 1964.
Jens Carstensen. Geometri og keglesnit. Systime, 1996.