 |
Keglesnittenes historie kortEllipser blev allerede studeret af de gamle grækere. Ellipsen er den ene type af de såkaldte keglesnit. De andre to typer af keglesnit er parablen og hyperblen. Oprindelsen af teorien for keglesnit er noget uklar, men kan meget vel have at gøre med problemet med Terningens fordobling, der jo er et af de klassiske problemer i antikken: at konstruere en terning med dobbelt så stort volumen som en given terning (se Klassiske konstruktioner). Det blev først i 1800-tallet endeligt bevist, at denne konstruktion er umulig med passer og lineal, men i antikken søgte man ihærdigt at finde konstruktioner. Man har i den forbindelse brug for at kunne konstruere tallet kubikroden af 2. Allerede i det femte århundrede før Kristus reducerede Hippokrates problemet med at fordoble en terning med sidelængde a til at finde to såkaldte mellemproportionaler x og y mellem længderne a og 2a. Hermed menes at konstruere to længder x og y, så følgende forhold er de samme: a : x =x : y = y : 2a. I moderne sprogbrug svarer det til på én gang at løse alle følgende tre ligninger:
- ligninger, som repræsenterer parabler i de første to tilfælde og en hyperbel i det sidste tilfælde. Menaechmus (4. århunderede før Kristus) studerede kurverne, som tilfredsstiller hver af disse ligninger og han var den første til at indse at ellipser, parabler og hyperbler kunne fremkomme som snit i en kegle. Selv om man således indså, at løsningen til terninge-fordoblings-problemet kunne fås som en skæring mellem parabler og hyperbler, så gav de som nævnt ikke nogen " rigtig" , for kurverne kan kun konstrueres " punktvist" med passer og lineal. De kunne således ikke bruges som led i en konstruktion med passer og lineal. Det vigtigste i denne sammenhæng er imidlertid, at terninge-problemet gav anledning til at studere keglesnit. Apollonius (ca. 262 - ca. 190 før Kristus) er den matematiker, som først og fremmest nævnes i forbindelse med teorien for keglesnit. Han skrev 8 bøger om emnet og de repræsenterer et af højdepunkterne i antikken. Det vil føre for vidt her at komme ind på de mange egenskaber, som Appolonius udledte for keglesnittene. Keglesnittene dukker op i mange sammenhænge i naturvidenskaben. Som et af de mest spektakulære eksempler kan det nævnes, at Johannes Kepler i 1600-tallet postulerede, at planeterne bevæger sig i ellipsebaner om solen, hvilket senere blev underbygget af Newtons teorier om massetiltrækning.
De tre keglesnitApollonius definerede de tre kurver som snit i en kegle. Nedenfor har jeg illustreret de tre tilfælde. I hvert enkelt tilfælde har jeg afbildet situationen set fra siden og derefter situationen set i 3D. I første tilfælde, hvor man foretager et snit, hvor vinklen u i forhold til keglens " kant" er større end topvinklen i keglen, vil snitplanen passere igennem ud på den anden " side" af keglen, og man opnår en ellipse. Hvis man derimod snitter med en plan, som har samme vinkel som keglens topvinkel, så fås en parabel. Endeligt fås en hyperbel, hvis snitvinklen u er mindre end topvinklen.
EllipsenMan kunne som Apollonius og andre definere ellipsen på ovenstående måde som et snit i en kegle og derefter udlede en række egenskaber for snitkurven. Man vælger dog undertiden at definere ellipsen anderledes, som jeg vil gøre her.
DefinitionLad der være givet en linje l (ledelinje), et punkt F (brændpunkt) og et tal e (excentriciteten) større end 0 og mindre end 1. Da defineres en ellipse, som bestånde af de punkter P, som opfylder at afstanden til brændpunktet F er lig med afstanden til ledelinjen l ganget med e:
Ellipsens ligningVi skal i det følgende udlede en ligning for ellipsen udfra definitionen ovenfor. Vi starter med at tegne en x-akse igennem brændpunktet F, vinkelret ind på ledelinjen l. Det er ret indlysende, at der på denne x-akse er to punkter, som ligger på ellipsen. Dette kan indses helt præcist på følgende måde: Afsæt to hjælpepunkter H1 og H2 på l et vilkårligt stykke q fra x-aksen. Oprejs derefter en normal til x-aksen i brændpunktet F. Stykket eq ude af normalen afsættes hjælpepunktet H3. Linjen gennem H1 og H3 skærer x-aksen i et punkt A, og linjen gennem H2 og H3 skærer x-aksen i et punkt B. Disse to punkter opfylder betingelserne for at ligge på ellipsen, hvilket indses ved at betragte ensvinklede trekanter på figuren. Detaljerne overlades til læseren.
Vi kan nu glemme alt om hjælpepunkterne, som kun skulle bruges til at påvise eksistensen af de to ellipsepunkter på x-aksen. Indfør nu tallet a som halvdelen af afstanden mellem A og B. Anbring herefter praktisk en y-aksen lige imellem A og B, så A og B får koordinaterne henholdsvis (-a,0) og (a,0). Brændpunktets koordinater betegner vi med (x1,0) og ledelinjens ligning betegner vi x = x2 . At A og B ligger på ellipsen kan også udtrykkes ved, at følgende to ligninger er opfyldt:
som er to ligninger med to ubekendte i de ubekendte x1 og x2.
En hurtig løsning af ligningssystemet ovenfor giver:
Hermed kendes beliggenheden af alle de relevante punkter og linjer. Spørgsmålet er hvad man kan sige om de øvrige punkter - udover A og B - som ligger på ellipsen? For at besvare det tyr vi igen til definitionen af ellipsen og anvender udtrykkene for de forskellige størrelser, udledt ovenfor:
Indfører man en ny parameter ved
viser ovenstående, at ellipsen består af alle de punkter (x,y), som tilfredsstiller ligningen:
Parametrene a og b kaldes for henholdsvis ellipsens storakse og ellipsens lilleakse. Af definitionen på b ser vi efter en lille omskrivning, følgende udtryk for excentriciteten:
Hvis vi spejler brændpunktet F i y-aksen, får vi et nyt punkt F1 med koordinaterne (-ea,0) og spejler vi ledelinjen l i y-aksen, får vi en ny linje l1 med ligningen x = -a/e.Man ser nemt af ligningen for ellipsen i boksen ovenfor, at ellipsen er symmetrisk om både x- og y-akse. På grund af sidstnævnte symmetri og de nye definitioner kan ellipsen derfor også karakteriseres som følgende punktmængde:
Heraf fås sammen med den oprindelige definition:
Situationen kan ses på følgende figur:
Ellipsens sumegenskabMængden af punkter på ellipsen med storakse a består netop af de punkter (x,y) i planen, hvor summen af afstandene til de to brændpunkter F og F1 er lig med den konstante værdi 2a.
Vi har ovenfor allerede vist, at hvis et punkt ligger på ellipsen, så er summen af punktets afstande til F og F1 lig med 2a. Vi mangler at vise den anden vej, dvs. at hvis et punkt har den egenskab, at summen af dets afstande til henholdsvis F og F1 er lig med 2a, så ligger punktet på ellipsen. Dette er nødvendigt for det kunne jo være, at der fandtes punkter som opfyldte sumegenskaben, men som ikke lå på ellipsen! Betegn afstanden fra P til F med d og afstanden fra P til F1 med d1. Vi antager altså, at
og vil nu lidt bagklodt prøve at udregne et udtryk på to måder:
Sammenligner vi de to højresider i (1) og (2), får vi:
men så haves:
hvormed det er vist, at punktet ligger på ellipsen! Ellipsens sumegenskab er altså bevist.
Tegning af ellipseEllipsen har mange andre egenskaber, og vi har endda ikke engang
bevist, at vi med ovenstående definition af ellipsen har, at en
ellipse kan fås som et snit i en kegle. Dette er kun blevet postuleret.
Jeg vil slutte med udledningerne her og henvise den interesserede
læser til supplerende litteratur (se eventuelt nedenfor) for en
gennemgang af ellipsens og de øvrige keglesnits egenskaber. Det
jeg gerne ville have fat i var ellipsens sumegenskab, for den indikerer,
at man kan frembringe ellipsekurven på en snedig måde: KonstruktionTag et stykke snor og bind enderne sammen, så der fremkommer en lukket kurve. Anbring to nåle eller søm i brændpunkterne. Læg den lukkede kurve omkring nålene og tegn endelig med en blyant, mens snorkurven holdes udspændt.
Hvis du ønsker en ellipse med en bestemt storakse a og en bestemt lilleakse b, så udregn lige først excentriciteten e efter den allerede nævnte formel:
Anbring derefter sømmene i den indbyrdes afstand 2ea. Den lukkede kurve sørger du for har omkredsen 2a + 2ea, svarende til summen af de tre afstande d, d1 og d2 på figuren. Derefter er det bare at gå i gang.
Tegning af æg
|
|
|
