Volumenberegning for superellipsoiden

I det følgende skal vi beregne volumenet af en superellipsoide med halvakser a, b og c, defineret ved følgende udtryk (skallen):

Vi skal gøre brug af nogle integraler fra opslagsværker - eller brug den fremragende webbaserede The Integrator:

hvor ₂F₁ er en Hypergeometrisk funktion. Ved brug af substitution og (i) får vi:

For at bestemme legemets volumen integrerer vi funktionen 1 over hele legemet og får nedenstående. Uddybninger kan findes nedenfor.

Uddybninger:

De anførte mængder vi integrerer over er:

3. lighedstegn: Der integreres over fiberen.
5. lighedstegn: Der integreres over fiberen.
6. lighedstegn: (iii) ovenfor anvendes med a = 1 - r^n.. Detaljer følger:

8. lighedstegn: Følger af (ii).
10. lighedstegn følger af den identitet, som gælder for den hypergeometriske funktion:

11. lighedstegn: Det udnyttes at G(1) = 1.

Derfor haves endelig følgende udtryk for volumenet af en superellipsoide:

Specielt fås for tilfældet med n = 2,5: