En historie om fraktaler

I 1979 sad den franske matematiker Benoit Mandelbrot i kælderen i Science Centeret på Harvard Universitet med en ny Vax supermini computer. Som en ubetalt programmør havde lærerassistenten Peter Moldave tilbudt sin assistance til Mandelbrots projekt, der gik ud på at studere den tilsyneladende simple funktion

hvor x og c er komplekse tal. Hertil skulle bruges computere. Det tørre computerarbejde gik i gang, og tallene manifesterede sig som billeder på computerskærmen. Pludseligt viste der sig en bille-lignende geometrisk figur på skærmen.

Dette billede havde forskerne forventet - teorien havde forudsagt det. Mere forundrende var en række af mindre klatter væk fra hovedbilledet. Ved nærmere undersøgelser så det ud som om der var tale om mindre versioner af den bille-lignende figur. Det var som om billedet reproducerede sig selv på lavere niveau! Ved at foretage mere præcise beregninger på computeren opnåedes bedre billeder, der viste flere detaljer, indtil billederne efterhånden begyndte at se mere og mere komplicerede ud. Mandelbrot var i tvivl om, om de mystiske figurer på skærmen skyldtes det forældede grafiske udstyr i kælderen, eller der her lå en helt ny og enestående matematik gemt. For at udelukke det første afprøvede Mandelbrot programmet på en IBM mainframe computer i hans hjembase i Yorktown Heights i New York. Her i det berømmede IBM Thomas J. Watson Research Center havde Mandelbrot adgang til en imponerende computerkapacitet. På de mere avancerede computere kunne man igen se de komplicerede billeder på skærmen, blot var billederne i en bedre kvalitet. Samtidigt afsløredes et underliggende mønster. Mandelbrot og Moldave fandt ved at zoome ind, at nogle af de små klatter på skærmen, som ved et første syn kun lignede støvpartikler, ikke var identiske versioner af den oprindelige "bille", som de først havde troet. De var i stedet smukke og indviklede mønstre af spiraler og former, der lignede søheste. Mandelbrot var begejstret: han havde opdaget en helt ny verden!

Englands kystlinje

For at forstå ovenstående må vi gribe tilbage i tiden. I 1967 havde Mandelbrot i en epokegørende artikel i magasinet Science stillet spørgsmålet: "How long is the Coastline of Britain?". Spørgsmålet kan synes banalt i første omgang: Man kan vel bare finde et kort og måle det op! Mandelbrots pointe var imidlertid, at hvis man tager et kort med mindre målestoksforhold, altså zoomer ind på kystlinjen, så vil det, der på det forrige kort så ud til at være et forholdsvist lige stykker kystlinje, vise sig at at være krogede og bugtede kurver, med en væsentligt større længde end på det forrige kort. Sådan kunne man fortsætte med at zoome ind og få en stadig større kystlinjelængde som følge, Man kan selvfølgelig fremdrage, at denne zoomen ind må stoppe på et tidspunkt, nå man når ned til det atomare niveau eller lignende, men fra et matematisk synspunkt kan forfiningen fortsættes uendeligt. Eftersom følgen af kystlinjelængder vokser uden begrænsning med graden af zoom, følger det, at der ikke er nogen præcis matematisk definition af længden af en kystlinje.

Selvsimilære figurer

En analog situation til den britiske kystlinje, men dog en matematisk idealiseret én, fås med den såkaldte Koch-kurve, først betragtet af H. von Koch i begyndelsen af 1900-tallet. Kurven fremkommer ved følgende proces: Man starter med et linjestykke, fjerner den midterste tredjedel, og erstatter det med to linjestykker, så der dannes en spids på 60 grader, som vist på den første tegning på figuren nedenfor. Derefter gentager man arbejdet på hver af de fire linjestykker i den nye figur, dvs. erstatter den midterste tredjedel med en spids. Derved fås den anden tegning på figuren nedenfor. Processen gentages igen og igen og figurerne konvergerer efterhånden mod en "grænsefigur", hvis udseende er meget tæt på udseendet af den femte figur nedenfor.

Også denne kurve har uendelig længde. Ordet fraktal bliver relevant idet man tildeler figurer som ovennævnte en dimension, som bliver et ikke helt tal og således bliver en udvidelse af vort sædvanlige dimensionsbegreb. I vor hverdag taler vi ofte om 1, 2 eller tre dimensioner (fx film i 3D), og hvis det går rigtigt hedt til, kan vi fantasere om fire dimensioner, fx i Einsteins relativitetsteori. Men hvad er en ikke-heltallig dimension? Jeg vil indføre en definition i min note nedenfor, men først skal vi se på et andet eksempel på en figur, som er skabt ved en uendelig proces:

I animationen nedenfor startes med en fyldt ligesidet trekant. Man markerer dernæst midtpunkterne af hver af de tre sider og forbinder den indbyrdes med linjer. Den herved fremkomne "indre trekant" fjernes og man har den næste figur i den uendelige proces. Denne figur kan nu opfattes som værende sammensat af tre mindre fyldte trekanter, "similær" med starttrekanten. Fjern nu i hver af disse mindre trekanter den "indre trekant". Herved fås den tredje figur i rækken. Processen fortsættes på tilsvarende måde ved at fjerne "indre trekanter".... I animationen har jeg tegnet de 6 første figurer i rækken og afspillet dem i passende hastighed, så man kan ane, at rækken af figurer konvergerer mod en bestemt figur, kaldet Sierpinsky trekanten.

Som afslutning på emnet om selvsimilære figurer vil jeg blot afbilde den såkaldte Sierpinsky svamp, som jeg vil lade det være op til læseren at overveje, hvordan er blevet til - altså ved hvilken proces?

Note om fraktaler

Nedenfor kan du downloade en lille note om fraktaler i pdf-format. Den skulle kunne bruges i gymnasiet i 1g matematisk linje. Det vil nok være en fordel, hvis emnet om logaritmer er gennemgået først.

For hjælp til at downloade klik her. For information om pdf format og brug af Adobe Reader klik her.

Fraktaler (988 kB)

Opdateret oktober 2000.