Geometriske konstruktioner

Det var grækerne, der førte geometrien frem til en høj grad af fuldkommenhed. Her spillede den såkaldte Pythagoræer-skole en helt central rolle. Dette religiøst filosofiske broderskab, der var blevet grundlagt af navnkundige Pythagoras (6. århundrede f. Kr.), forsøgte at udtrykke alle forhold i naturen ved forhold mellem naturlige tal. Opdagelsen af de såkaldte usigelige tal, altså de tal, vi i dag kalder irrationale, var så stor en skuffelse for pythagoræerne, at de i høj grad forlod aritmetikken til fordel for geometrien. I geometrien kan man for eksempel konstruere en længde, der er lig med kvadratroden af 2, hvorimod tallet ikke kan skrives som en brøk mellem hele tal, idet det jo ikke er rationalt. Længden kan konstrueres som diagonalen i en retvinklet trekant, hvor begge kateter har længden 1.

Herefter begyndte en lang æra med geometrien i centrum. Da den rette linje og cirklen hører til de mest ædle geometriske figurer er det ikke svært at forstå, at man begyndte at foretage konstruktioner med passer og lineal. Og opgaverne var ikke af praktisk art, som tilfældet havde været med ægypterne. Grækerne betragtede geometrien for matematikkens egen skyld. Man var ikke interesseret i tilnærmede løsninger. Geometrien blev betragtet som en ophøjet åndelig disciplin, som skulle besjæle eleverne med moralsk kraft, så de kunne begå handlinger til gavn for almenheden. Platon (427 - 347 f.Kr.) var en af geometriens store fortalere. Han mente, at man skulle lære at trække tankeindholdet, selve idéen, ud fra det konkrete.

Ved konstruktion med passer og lineal er kun følgende tre operationer tilladelige:

Tegne den rette linje igennem to allerede fundne eller givne punkter. Eller at forlænge et linjestykke så langt man ønsker.
Tegne en cirkel med et allerede fundet eller givet punkt som centrum og med en radius, som er lig med afstanden mellem to allerede fundne eller givne punkter.
Finde nye punkter som skæringspunkterne for allerede fundne eller givne rette linjer og cirkler.

Det er altså ikke tilladeligt at benytte sig af nogen længdemarkeringer på linealen. Det er heller ikke så mærkeligt, for i modsat fald ville alt jo være konstruérbart.

Som udgangspunkt forestiller man sig, at man har to punkter, som i et koordinatsystem for eksempel kan være punkterne (0,0) og (1,0). Så konstruerer man løs med de tilladelige operationer ovenfor. Det viser sig, at ikke alle punkter i planen kan konstrueres. Man taler også om at konstruere tal (eller længder). Et tal t siges at kunne konstrueres, såfremt man kan konstruere to punkter i planen, som har afstand lig med den numeriske værdi af t (positive værdi af tallet).

De tre klassiske problemer

De tre såkaldt klassiske problemer

Cirklens kvadratur
Terningens fordobling
Vinklens tredeling

der blev formuleret af de gamle grækere, har i over 2000 år fascineret såvel matematikere som almindelige folk uden egentlig matematisk uddannelse. Dette skyldes vel især, at problemerne er så nemme at forstå. De gamle grækere, der med tiden blev eksperter i at konstruere med passer og lineal, måtte give op over for disse tre problemer, og de kom vel også efterhånden til den overbevisning, at de var uløselige.

I cirklens kvadratur søger man at konstruere et kvadrat med samme areal som en given cirkel. Da en cirkel med radius 1 har arealet p, svarer problemet altså til at kunne konstruere tallet kvadratroden af p, idet dette tal er sidelængden i et kvadrat med samme areal som cirklen. I problemet med terningens fordobling skal man konstruere en terning med dobbelt så stort volumen som en given terning. Her svarer problemet til at konstruere tallet kubikroden af 2, idet det er sidelængden i en terning med dobbelt så stort volumen, som en terning med sidelængde 1. Problemet med vinklens tredeling går ikke overraskende ud på at finde en metode til at tredele en generel vinkel.

Da grækerne ikke kunne løse problemerne ved hjælp af de ovennævnte tre tilladte regler, tyede de til ekstra redskaber, såsom indskydningsmetoder, keglesnit og andre specielle kurver. Hermed var det muligt at udføre konstruktionerne. Under emnet Vinklens tredeling skal vi se på et par af metoderne til at tredele vinkler.

Først i 1837 blev det af Pierre Laurent Wantzel (1814 - 1848) bevist, at det er umuligt at tredele en generel vinkel og fordoble en terning med passer og lineal. Det blev nemlig bevist, at man ikke kan tredele en vinkel på 60 grader og at tallet kubikroden af 2 ikke kan konstrueres. Lidt senere, i 1882, blev det af C. L. F. Lindemann (1852 - 1939), bevist, at tallet p er et såkaldt transcendent tal, hvormed menes, at p ikke er rod i noget polynomium med heltallige koefficienter. Da man kan vise, at ethvert tal, der kan konstrueres, er rod i et polynomium med en grad, som er en potens af 2, kan man dermed konkludere, at tallet p ikke kan konstrueres. Når p ikke kan konstrueres, kan kvadratroden af tallet heller ikke konstrueres. Altså kan cirklen ikke kvadreres.

Under emnet Vinklens tredeling kan du også finde en note, som beviser umuligheden af at tredele en generel vinkel med passer og lineal. Uløseligheden af terningens fordobling bevises også der.

En note

Nedenfor en note i klassiske konstruktioner med passer og lineal. Noten, som er på 26 sider, kan benyttes til det historiske aspekt i gymnasiet, matematisk linje. Jeg skønner, at den kan benyttes sidst i 1g, efter gennemgangen af andengradsligningen og den indledende geometri. Jeg har tilrettelagt noten, så eleverne i visse passager kan arbejde selv, dvs. løse forskellige øvelser, mens de arbejder sig fremad.

For hjælp til at downloade klik her. For information om pdf format og brug af Adobe Reader klik her.

Klassiske Konstruktioner (803 kB).