Mandatfordelinger og retfærdighed

I efteråret 2008 deltog jeg som gymnasielærer i matematik i et tværfagligt forløb med to andre lærere i emnet "Det amerikanske valg" og kom til at tænke på bogen af Ebbe Thue Poulsen, Matematik og retfærdighed - Mandatfordelingsproblemet, som jeg havde anskaffet lidt tidligere - nu kunne bogen bruges! Umiddelbart forekom det mig lidt fjernt, at der skulle være noget som helst problem i at fordele mandater ud fra et afstemningsresultat. Og det er der da heller ikke, hvis alt flasker sig og går op, men det gør det som regel aldrig. Som regel svarer den procentdel et parti har fået ikke nøjagtigt til et bestemt antal mandater. Men stadig kunne man tro, at der var en entydig fornuftig måde at fordele mandaterne på. Overraskende nok er svaret, at det er der ikke! Der er ikke nogen klar definition af hvad der er mest retfærdigt, hvis tingene ikke går pænt op. Der er med andre ord forskellige måder at gøre det op på, og selv om disse forskelle kun angår de allersidste mandater, så vil de ikke sjældent være afgørende i en konkret situation, eftersom valg meget ofte afgøres på få mandater! Jeg vil nedenfor redegøre for forskellige metoder til at udregne mandattal. Det viser sig matematisk set at være interessant!

Men hvordan gør man i Danmark til folketingsvalg? Det er et nærliggende spørgsmål. Samtidigt opstod der spørgsmål af ikke-matematisk art: Hvordan blev vores lands grundlov egentlig til? Jeg lånte nogle bøger om det på biblioteket. Det viste sig at være en yderst interessant historie, som jeg har forsøgt at beskrive i grove træk i afsnittet "Historien, der førte til Danmarks Riges Grundlov". En stor tak rettes til min gode kollega Henrik Heinemeier, som er historielærer på Haderslev Katedralskole, for at have læst min oprindelige tekst igennem og givet gode råd til ændringer. Endvidere kontaktede jeg personalet på Christiansborg om lov til at besøge Christiansborg og eventuelt tage nogle fotos der. Det fik jeg uden videre lov til, efter at have beskrevet min hensigt. Jeg er meget glad for at kunne vise billeder fra Folketinget på Christiansborg. Det er vist ikke mange steder i Verden at en "menig mand" med et relevant formål, kan få lov til at tage billeder fra landets parlament! Jeg retter en stor tak til personalet på Christiansborg, herunder Mikael Schrage, for stor imødekommenhed med hensyn til mit projekt, herunder at ledsage mig rundt samt give mig tilladelse til at vise billederne fra Christiansborg.

1. En perfekt situation
2. Største brøks metode
3. D'Hondts metode og andre divisormetoder
4. Mandatprismetoder
5. Mandatfordelingsberegninger med Excel VBA
6. Repræsentanternes Hus i USA
7. Folketingsvalg i Danmark
8. Geometrisk præsentation
9. Alabama-paradokset og andre problemer
10. To mål for uretfærdighed
11. Historien der førte til Danmarks Riges Grundlov
12. Litteratur
13. Links

For en del billeders vedkommende fås en større version af billedet ved at klikke på billedet!

1. En perfekt situation

Fire partier A, B, C og D deltager i et valg, hvor der er 50 mandater til deling. Valgresultaterne viser følgende stemmetal til de fire partier: 104, 156, 650 og 390. Det totale stemmetal er dermed 1300, hvorefter vi kan udregne partiernes respektive procentdele af stemmerne. Vi udregner også hvor meget disse procentdele udgør af det totale antal mandater - de såkaldte kvota - og opdager, at det giver hele tal! Det er dermed oplagt at tildele hvert parti det antal mandater, som svarer til deres kvote:  

2. Største brøks metode

Den situation, som er beskrevet i afsnit 1, hvor kvoterne ender med at give hele tal, opstår i praksis så godt som aldrig. Kvoterne vil normalt give kommatal. Lad os kigge på et tilfælde med 5 partier A, B, C, D og E, hvor stemmetallene er henholdsvis 431, 1007, 722, 2660 og 294. Antallet af mandater er opgivet til 17. Tabellen nedenfor viser de tilhørende procentdele og kvota. Største brøks metode er den måske mest nærliggende metode, hvor man  vælger først at tildele partierne de mandater, som svarer til heltalsdelen af deres kvota. Det er her 1, 3, 2, 8 og 0. Der er 3 mandater tilbage, og de tildeles til de partier med de største brøkdele. I dette tilfælde er det partierne A, D og E, som får de overskydende mandater.

3. D'Hondts metode og andre divisormetoder

En anden idé blev i 1878 fremført af Victor D'Hondt (1841-1901), der var en belgisk jurist og matematiker. Metoden gik ud på at dividere stemmetallene for de enkelte partier med tallene 1, 2, 3, 4, ... og så fordele mandaterne efter de største tal heriblandt. Lad os være mere præcise. Lad os sige, at vi har de samme betingelser, som i afsnit 2: Fem partier med stemmetallene 431, 1007, 722, 2660 og 294, og i alt 17 mandater. På den første figur nedenfor er de 17 største kvotienter markeret med rødt. Det giver følgende kombination af mandattal for de fem partier A, B, C, D og E: 1-3-2-10-1.

D'Hondts metode er i virkeligheden blot én metode i familien af divisormetoder. Den franske matematiker André Sainte-Laguë foreslog at anvende de ulige divisorer 1, 3, 5, 9, ... De 17 største kvotienter er markeret i skemaet overfor efter denne metode, og det ses at give mandatfordelingen 1-3-3-9-1. D'Hondts metode benyttes ifølge Wikipedia i landene Argentina, Østrig, Belgien, Bulgarien, Chile, Columbia, Kroatien, Tjekkiet, Danmark, Øst Timor, Equador, Estland, Finland, Ungarn, Island, Japan, Makedonien, Montenegro, Holland, Nordirland, Paraguay, Poeln, Portugal, Rumænien, Moldavien, Skotland, Serbien, Slovenien, Spanien, Tyrkiet, Venezuela og Wales. D'Hondts metode beskyldes dog for i det små at favorisere de store partier. I den henseende er Sainte-Laguës metode mere afbalanceret, og som vi skal se i afsnit 10 i en vis forstand optimal! Sidstnævnte metode bliver ifølge Wikipedia benyttet i New Zealand, Norge, Sverige, Danmark, Bosnien, Bosnien-Herzegovina, Letland, Kosovo og Tyskland. En modificeret Sainte-Laguë metode er også i brug: Her erstattes divisoren 1 af divisoren 1,4. Metoden anvendt på ovenstående konkrete tilfælde giver ifølge figuren nedenfor mandatfordelingen 1-3-3-9-1.

Endelig er der Lige store forholds metode. Her er divisorerne givet ved formlen:

Når  n = 1 indsættes fås 0. Man kan jo ikke dividere med 0, men det skal her tolkes derved at alle partier (om muligt) skal have tildelt mindst ét mandat. Metoden bliver i dag anvendt i USA i Repræsentanternes Hus: Tildelingen af mandater til Repræsentanternes Hus fra de 50 forskellige stater sker på baggrund af befolkningstallet i de enkelte stater. Og med valget af de Lige store forholds metode er hver stat altså sikret mindst ét mandat i Repræsentanternes Hus, uanset hvor lille befolkningstallet er. I vores konkrete eksempel giver det mandatfordelingen 2-3-2-9-1, som vist på figuren ovenfor.  

4. Mandatprismetoder

En anden meget nærliggende metode er at indføre en pris for ét mandat, en såkaldt mandatpris. Hvert parti kan så løst sagt "købe" lige så mange mandater, som de "har råd til". Jeffersons metode er et eksempel på sådan en metode. Man fastlægger en mandatpris p og dividerer den op i partiet P's stemmetal, s_P, og tager til slut heltalsdelen af kvotienten for at få partiets mandattal m_P:

Det totale antal af mandater afhænger naturligvis af mandatprisen. I langt de fleste tilfælde kan man dog vælge en mandatpris, der gør at man lander på et ønsket samlet mandattal. Det viser sig faktisk, at Jeffersons metode er ækvivalent med D'Hondts metode, dvs. den giver samme mandatfordeling. De få tilfælde, hvor man ikke kan vælge en mandatpris for at opnå et givet samlet mandattal, modsvares faktisk ef en uafgjort situation i D'Hondt tilfældet. En metode til at finde en velegnet mandatpris kan illustreres i eksemplet med D'Hondts metode i afsnit 3: Man vælger en mandatpris, som er højst lige så stor som den mindste kvotient, der giver anledning til et mandat og skarpt større end den største kvotient, som ikke giver anledning til et mandat. I eksemplet betyder det, at man skal vælge p, så 144 >= p > 143. Mandatprisen behøver egentligt ikke at være et helt tal, men vi kan vælge 144 her. Det betyder, at Jeffersons metode giver de samme mandattal, som i tilfældet med D'Hondts metode. Det kan være en fin opgave for læseren at bevise denne påstand generelt ved at bruge bogstavregning (se opgave 9 i bogen [1] af Ebbe Thue Poulsen). Jeffersons metode blev anvendt i Repræsentanternes Hus i USA i årene 1790 til 1840.

Man kunne overveje at foretage almindelig afrunding af kvotienten i stedet for at anvende heltalsdelen, altså:

Det giver en anden mandatpris metode kaldt Websters metode. Sjovt nok kan man påvise, at denne metode er ækvivalent med Sainte-Laguës metode! Metoden blev anvendt i Repræsentanternes Hus i USA fra 1842 indtil 1852 og igen fra 1901 til 1940. hvor største brøks metode blev taget i anvendelse. Metoden benyttes også den dag i dag i flere lande.
 

Opgave 1

Her en opgave, som kan hjælpe dig til at bevise påstandene ovenfor.

5. Mandatfordelingsberegninger med Excel VBA

Jeg har lavet en Excel fil med programmeringskode i VBA til at beregne mandatfordelinger for fem forskellige metoder: største brøks metode, D'Hondts metode, Sainte-Laguës metode, Den modificerede Sainte-Laguës metode og endelig Lige store forholds metode. Man kan selv vælge antal partier, antal mandater, etc. og få udregnet mandatfordelingerne. Programmet tager hensyn til uafgjorte situationer og vil markere hvis de forekommer. Hjælp til brugen af programmet findes via en knap deri. Bemærk at man skal acceptere makroer, når filen åbnes, ellers vil programmet ikke virke! Jeg forventer bestemt ikke, at der opstår nogen problemer med filerne, men er dog nødt til at tage de sædvanlige forbehold: Jeg tager på ingen måde ansvaret for problemer eller tab i forbindelse med brug af filerne, hverken direkte eller indirekte.

Jeg har arkiveret filen i en Zip-fil, da det nye Office-2007 format opfører sig lidt mærkeligt ved download. Filen skal altså først unzippes. For læsere, der ikke har MS Excel i det nye Office 2007 format har jeg gemt filen i det gamle Office 1997-2003 format her. Nedenfor et screendump fra programmet. Klik på det for en fuld version:

6. Repræsentanternes Hus i USA

De seneste folketællinger stammer fra år 2000, og jeg har data fra Balinsky & Young [3]. Jeg har skrevet befolkningstallene i de enkelte stater ind som stemmetal i mit Excel program fra forrige afsnit. Filen kan findes under opgave 2 nedenfor og er pakket i et arkiv (zip-fil) sammen med to andre filer med folketællinger fra årene 1900 og 1880. Husk at acceptere makroer - ellers virker programmet ikke! Man kan se fordelingen af mandater mellem de forskellige stater ved brug af fem forskellige fordelingsmetoder. Det skal lige nævnes, at hver stat i USA er sikret mindst et mandat, så man skal sætte Mindste mandattal til 1. Uden denne regel ville staterne Vermont og Wyoming faktisk ikke blive repræsenteret efter år 2000 folketallene, hvis D'Hondts metode blev anvendt. Resultaterne stemmer overens med tabellerne i [3].

I virkeligheden benytter USA i øjeblikket Lige store forholds metode. Men igennem historien har flere forskellige metoder været anvendt. Bogen [3] giver en fremragende og detaljeret beskrivelse heraf. For det første skal det nævnes, at de metoder, der er beskrevet i de tidligere afsnit, ofte kan genfindes med andre navne forskellige steder i verden. I USA betegnes største brøks metode for eksempel ofte som Hamiltons metode efter statsmanden Alexander Hamilton (1755 - 1804). De mange diskussioner om den mest velegnede og mest retfærdige mandatfordelingsmetode blev ofte ført an af politikerne selv. Antallet af pladser i Repræsentanternes Hus er blevet sat op gentagne gange. Kun én gang er antallet af pladser blevet justeret nedad, nemlig i 1840, hvor man gik fra 240 til 223 pladser. Opjusteringerne begrundes ved at antallet af amerikanske stater og befolkningenstallet er vokset. I 1790 var der 105 pladser og efter folketællingen i år 2000 er der nu 435 pladser. Det betød, at mandattallet fra de forskellige stater ofte blev øget, men i nogle situationer gik de ned, og det betød en større fokus på de fordelingsmetoder der blev anvendt. Det gjorde ondt, når en stat mistede pladser! Fra 1790 til 1840 havde man benyttet Jeffersons metode (= D'Hondts metode). Særligt i 1830'erne opstod der imidlertid stor debat om metodens kvalitet. Man fandt flere og flere eksempler på at metoden favoriserede de store partier, på bekostning af de små. Denne bias i metoden blev angrebet fra forskellig side og det gav anledning til nye forslag: Adams metode (efter præsidenten fra 1825-29, John Quincy Adams), Lowndes metode, Deans metode og Websters metode. Adams metode viste sig at have bias ved at favorisere de små stater. Kort fortalt så kom kun Websters metode (= Sainte-Laguës metode), indført af statsmanden Daniel Webster i 1832, i brug i praksis. Man gik i 1842 over til at benytte Websters metode. Fra 1852 indtil 1901 anvendte man Hamiltons metode (= største brøks metode). Der blev imidlertid afsløret nogle alvorlige uhenigtsmæssigheder ved største brøks metode. Der var især Alabama-paradokset. Man opdagede at staten Alabama med folketallene fra 1880 kunne miste et mandat, hvis man øgede det totale antal pladser fra 299 til 300! Matematikken i paradokset er omtalt i afsnit 9 nedenfor. Ikke bare den anvendte metode, men altså også det samlede antal mandater kan med andre ord være væsentligt for, om slutresultatet forekommer mere eller mindre retfærdigt, i hvert fald i en konkret situation. I 1880 vedtog man således, at der skulle være 325 pladser i Repræsentanternes Hus, for med det antal mandater ville Hamiltons metode (= største brøks metode) og Websters metode (=Sainte-Laguës metode) give den samme mandatfordeling. Så var man i hvert fald ude over at skulle diskutere hvilken af disse to metoder, der skulle anvendes. Men problemerne blev ved, som jeg vil beskrive med en lille historie i det følgende.

I 1901 opstod der igen ballade i et møde i valg-komiteen (Select Committee). Formanden Albert J. Hopkins fra Illinois havde taget tabeller med, der viste mandatfordelingerne ved alle samlede antal pladser mellem 350 og 400. Staten Maine hoppede op og ned mellem 3 og 4 mandater. Noget lignende skete for andre stater, og Colorado ville få 3 mandater, undtagen ved et samlet mandattal på 357, hvor staten ville få kun 2 mandater. Colorado havde tilbøjelighed til populisme (populist-leaning) og Hopkins hadede populisme. Han foreslog 357 pladser! Flere medlemmer følte deres retsfølelse dybt krænket og repræsentanten John E. Littlefield fra Maine fik afløb for sin store vrede gennem følgende indlæg, hvor han både angriber Hopkins' beregninger og den anvendte mandatfordelingsmetode (citat fra [3], side 41):

Resultaterne med største brøks metode var mere end kongressen kunne acceptere og Hopkins forslag blev stemt ned. Man endte med at forlade største brøks metode for altid og gå over til Websters metode, altså Sainte-Laguës. Denne metode blev anvendt fra 1901 til 1940.

I 1911 foreslog chef statiskeren Joseph Adna Hill på folketællingskontoret (Census Bureau) en ny metode. Den tog udgangspunkt i at den relative forskelsbehandling af indbyggerne i de forskellige stater i USA skulle være så lille som mulig. Edward Vermilye Huntington, der var professor i mekanik og matematik ved Harvard, gjorde i 1921 sin entre på scenen og talte også for Hills metode. Derfor kaldes metoden i dag for Huntington-Hills metode eller lige store forholds metode (Method of Equal Proportions), som den også blev døbt af Huntington. Metoden bygger på det geometriske middeltal. På den tid foregik der en kraftig afvandring fra landområderne mod byerne, hvilket betød at man havde stor fokus på problematikken med store og små stater: ingen skulle forfordeles ved den anvendte mandatfordelingsmetode. I den henseende er lige store forholds metode en smule venligere over for små stater end Websters er, og er i det hele taget ret neutral. I slutningen af 1920'erne opstod der en heftig diskussion mellem Huntington, der talte for lige store forholds metode og Walter F. Wilcox, der talte for Websters metode. En uafhængig ekspertkomite bestående af fire prominente matematikere blev udpeget til at analysere de forskellige metoder, og de endte med at pege på lige store forholds metode, som den foretrukne (begrundelserne kan ses i [3] side 55-56). Man havde nu fået sagkundskabens dom, men ofte er det politiske rævekager, der afgør tingene. For at gøre det kort, så endte det med, at præsident Roosevelt i 1941 underskrev en lov, hvori det stod skrevet at lige store forholds metode skulle bruges i Repræsentanternes Hus. Denne metode har været anvendt der lige siden.
 

Opgave 2

Nedenfor kan downloades et arkiv med tre Excel VBA filer med data fra de tre folketællinger i USA i årene 1880, 1900 og 2000. Folketællingsdata er hentet fra bogen [3].

• Prøv at verificere Alabama-paradokset, som opstod med største brøks metode på data fra folketællingerne i 1880.
• Undersøg om de påstande, som repræsentanten John E. Littlefield fra Maine fremrører om staterne Colorado og Maine efter år 1900 folketællingerne, holder stik. Repræsentanten påstår for eksempel at at staten Colorado for alle mandattal imellem 350 og 400 kun vil tabe (dvs. få 2 mandater) for et samlet mandattal på 357. Undersøg desuden påstandene for den stat, som han selv kommer fra, dvs. Maine.

7. Folketingsvalg i Danmark

Valgloven blev lavet om ved lov nr. 536 af 8. juni 2006 som en følge af nedlæggelsen af amterne. En ny valgkredsinddeling var naturligvis nødvendig, men i et enkelt tilfælde blev også en mandatfordelingsmetode ændret: Ved fordeling af storkredsenes kredsmandater på partierne gik man bort fra at benytte den modificerede Saint-Lagües metode til at bruge D'Hondts metode. Faktisk involverer valg til folketinget nu ikke mindre end fire forskellige basale mandatfordelingsmetoder: Største brøks metode, D'Hondts metode, Sainte-Laguës metode samt en divisormetode med divisorerne 1-4-7-11- etc. Man kan grundlæggende sige, at når det er afgjort, hvilke partier (eller kandidater uden for partierne), som klarer at komme i Folketinget, så bestemmes partiernes mandattal ved største brøks metode. Det afgør i princippet den parlamentariske situation. Men hvordan de enkelte mandater fordeles på landsdele, storkredse og endeligt på personer i (opstillings)kredsene er en helt anden og vanskelig sag! På forhånd - og hermed menes altså før valget - er det ud fra folketallet, vælgertallet fra det sidste folketingsvalg og det geografiske areal bestemt, hvor mange kredsmandater og tillægsmandater hver landsdel skal have. Antallet af kredsmandater i hver storkreds er endda bestemt her. Men som nævnt kan du klikke på linket for at få flere detaljer. Min information har jeg fået fra Indenrigs- og Socialministeriet og lidt fra Danmarks Statistik.
 

8. Geometrisk præsentation

Ovenfor har vi anvendt aritmetik til at afgøre, hvor mange mandater et parti skal have efter de forskellige mandatfordelingsmetoder. Der findes imidlertid også en geometrisk repræsentation, som kan bidrage til at kaste mere lys over forskellige spørgsmål. Det er for eksempel tilfældet med Alabama-paradokset, som vi skal kigge på i næste afsnit. Den metode vil vil præsentere duer imidlertid kun, når der er 3 partier. Er der flere, må man anvende geometri i tre eller flere dimensioner. Idéen bygger på følgende observation: For et vilkårligt punkt P, der befinder sig inde i en ligesidet trekant, er summen af de vinkelrette afstande fra p ind til siderne lig med højden i trekanten!

Opgave 3

Vis at  u + v + w = h i den ligesidede. Hjælp: Kald sidelængden i den ligesidede trekant for s og udnyt derefter at summen af arealerne af trekanterne APB, APC og BPC er lig med arealet af hele trekant ABC.

Vi kan vælge at lade højden h være 100% eller 1 (det hele). Så vil summen af u, v og w være 1. Dermed kan størrelserne repræsentere stemmeandelene u for parti A, v for parti B og w for parti C. En vigtig erkendelse er det endvidere at vi også kan afbilde mandattallene i trekanten, nemlig ved at udregne de pågældene mandattals andel af alle mandater! Lad os for eksempel se på et tilfælde, hvor vi har 5 mandater til fordeling mellem de tre partier. De mulige mandatfordelinger er afbildet som orange punkter i trekanten nedenfor.

Spørgsmålet er nu hvad den aktuelle stemmetalsfordeling repræseneteret ved punktet P giver anledning til i mandatfordeling? Svaret afhænger naturligvis af hvilken metode der anvendes. Her kommer geometrien til sin ret idet vi visuelt kan illustrere de stemmetalsfordelinger, som giver anledning til hvilke mandatfordelinger. Med største brøks metode ser det således ud:
 

Den mandatfordeling, som en given stemmetalsfordeling giver anledning til, er repræsenteret ved det orange punkt, ligger indenfor det lukkede område, hvori stemmetalsfordelingspunktet ligger. Stemmetalsfordelingspunktet er P og mandatfordelingspunktet M. Det giver altså mandatfordelingen 1-3-1.

Hvorfor områderne ser ud som de gør, er vist med et zoom-billede af en lille trekant i den store. Det er klart at et stemmetalsfordlingspunkt heri vil give anledning til i første omgang 2, 1 og 1 mandat. Det femte og sidste mandats placering på partierne afhænger af hvor i den lille trekant stemmetalsfordelingspunktet ligger. Som indikeret skal man kigge på midtnormalerne for at afgøre om de ene af to partier har gjort sig mest fortjent til mandatet. Detaljerne overlades til læseren. Lad mig slutte dette afsnit af med at vise hvordan områderne ser ud i tilfældene med D'Hondts metode og Sainte-Laguës metode. De er noget sværere at udregne og jeg vil ikke gå i detaljer med det her.

9. Alabama-paradokset og andre problemer

Største brøks metode virker så naturlig og oplagt. Men i 1880 opdagede man i USA, at hvis man øgede det totale antal sæder i Repræsentanternes Hus, så ville Alabama gå fra 8 til 7 mandater! Det forekommer helt urimeligt, at et parti kan tabe et mandat, når det totale antal af mandater øges. Ikke desto mindre kan det ske med største brøks metode.

Lad os illustrere problematikken i Alabama-paradokset i et tænkt eksempel med 3 partier med stemmetallene 6, 37 og 17. Lad os først sige at der skal uddeles 5 mandater. Det giver følgende udregningsskema: 

Hvis vi øger antallet af mandater fra 5 til 6, ser billedet således ud:

Vi ser misseren: I begge tilfælde får partierne "forudbetalt" det antal mandater som svarer til heltalsdelen af deres kvote. Der er derefter ét mandat tilbage at dele ud. Her får Parti A mandatet i det første tilfælde. I det andet tilfælde er procentdelene de samme, men nu er brøkdelen af A's kvote pludselig mindre end B's og C's, hvorfor A slet ikke får noget mandat. Situationen kan også illustreres ved anvende den geometriske idé fra forrige afsnit. Vi anbringer "nettet" fra situationen med 5 mandater - i svag visning - over "nettet" fra situationen med 6 mandater:

Jeg har markeret nogle af de områder i trekanten, som svarer til at Alabama-paradokset opstår. Det aktuelle eksempel svarer til punktet P. Det skal afslutningsvist lige tilføjes, at Alabama-paradokset ikke kan forekomme i tilfældet med divisormetoder, herunder D'Hondts og Saint-Laguës metoder.

Men der opstår mange andre problemer i forbindelse med mandatfordelinger. Et andet problem er det såkaldte monotoniparadoks, som kan forekomme med største brøks metode. Vi betragter en situation med 3 partier, som skal have tildelt i alt 5 mandater. Stemmetallene er henholdsvis 269, 464 og 267. Det giver anledning til følgende tabel:

I en anden afstemning med de samme betingelser blev stemmetallene henholdsvis 275, 458 og 122:

Vi kan registrere et nyt paradoks: Parti A har i andet valg fået flere stemmer end partiet fik i første afstemning. De andre to partier er derimod gået tilbage. Alligevel mister A et mandat til B! Ved at benytte den geometriske afbildningsmetode fra forrige afsnit kan vi få en indsigt, hvorfor denne umiddelbart uretfærdige situation kan opstå (bemærk roll-over effekt): 

De to stemmetalsfordelinger er afbildet med to lilla punkter 1 og 2 i trekanten. De giver henholdsvis anledning til mandattallene 2-2-1 og 1-3-1 repræsenteret ved det grønne henholdsvis det gule punkt. Jeg har tegnet en (orange) linje igennem hjørnet C og punktet 1. Alle punkter, der befinder sig på denne linje vil repræsentere stemmetalsfordelinger, hvor forholdet mellem A's stemmetal og B's stemmetal er det samme. Det er hensigtsmæssigt at kigge på denne linje, når man skal konstruere en situation, hvor monotoniparadokset opstår. Du kan studere dette nærmere i opgave 4 nedenfor. Der er en roll-over effekt på figuren ovenfor: Når man lader musen køre hen over figuren, vil man se et zoom-billede af det kritiske område, hvor et mandat skifter parti.

Opgave 4

I det følgende betragtes trekanten for de 3 partier A, B og C.

1. Vis at hvis to stemmetalsfordelinger giver punkter, som ligger på samme linje gennem hjørnet C, så er forholdet mellem A's og B's stemmetal det samme.
2. Lad der som ovenfor være 5 mandater til deling mellem de 3 partier. Prøv at finde frem til to afstemningsresultater - dvs. to sæt af stemmetal - hvor monotoniparadokset opstår. Det skal være sådan at mandatfordelingerne ved første afstemning er 1-1-3 og i anden afstemning 0-2-3, hvor A skal være gået frem i stemmetal, mens B og C skal være gået tilbage.
    

Hjælp: a) Betragt figuren ovenfor til venstre. Du skal vise at u₁/v₁ =  u₂/v₂.
b) Observer at de to mandatfordelinger 1-1-3 og 0-2-3 er repræsenteret ved henholdsvis det grønne og det gule punkt i trekanten ovenfor til højre. Den interessante "skillelinje", der ligger mellem de to områder, der giver de nævnte mandatfordelinger, er vist med lilla farve. Start nu med at finde et sæt af stemmetal, der giver et punkt, der ligger meget tæt på den lilla skillelinje, nogenlunde som vist på figuren. Tegn linjen gennem hjørnet C og punktet P₁. Alle punkter på denne (orange) linje vil nu repræsentere stemmetalsfordelinger (evt. ikke heltallige), hvor stemmetallene for parti A og B har samme indbyrdes forhold. Vælg dernæst et foreløbigt punkt Q, som ligger på den orange linje ovre på den anden side af skillelinjen. Dette punkt har koordinater u, v og w. Gang hver af dem med det samme tal k så parti A får samme stemmetal som i den første afstemning. Det vil betyde, at parti B, også får samme stemmetal som i første afstemning på grund af udsagnet i spørgsmål a). Derimod vil parti C få et noget lavere stemmetal. Foretag nu nogle små justeringer: Gør stemmetallet for parti A en smule højere og stemmetallet for parti B en smule lavere, og bevar gerne stemmetallet for parti C - det skal dog være heltalligt. Hvis justeringerne er så små, at det nye punkt P₂ forbliver indenfor området, der hører til det gule punkt, så vil det være en løsning til problemet! NB! Klik eventuelt på figuren ovenfor for en forstørrelse.

Der findes en lang række principper, som man gerne vil have en mandatfordelingsmetode til at opfylde. Blandt andet kan man ønske sig at der ikke opstår nogen "kraftige omvæltninger", hvis et parti vælger at dele sig i to partier, eller hvis to partier vælger at slutte sig sammen. Jeg vil dog ikke gå ind i en diskussion af disse principper her, da det er ret teknisk. I stedet vil jeg blot henvise til [1], hvor disse principper er diskuteret i detaljer. En af pointerne af analysen er, at det er umuligt at opfylde alle principperne. Det er altså umuligt at finde på en metode, som i alle henseender er retfærdig.

10. To mål for uretfærdighed

I forrige afsnit så vi afdækket to problemer for mandatfordelingsmetoden største brøks metode. To situationer, som kan forekomme aldeles uretfærdige. Det blev også omtalt, at der til mandatfordelingsmetoder i al almindelighed kan opstilles adskillige hensigtsmæssige principper, som en mandatfordelingsmetode bør opfylde, men at langt fra alle metoder opfylder dem. Ja man kan endda nævne et princip, som ingen metode kan opfylde! Når nu fuldstændig retfærdighed ikke er mulig, kan man spørge sig selv, om der er nogle metoder, der er mere retfærdige end andre?

Vi kan for eksempel opstille et mål for uretfærdigheden ved den betragtede mandatfordeling set fra partiernes synspunkt. Når man putter informationen om metoden ind i formlen, får man et tal ud. Jo større det tal er, jo mere uretfærdig er metoden set fra partiernes synspunkt i det konkrete tilfælde. Lad mig starte med at opskrive en formel og så kommentere dens rimelighed senere:

Jeg har anvendt samme betegnelser som i [1]. Vi antager, at der i valget deltager partierne A, B, ... , L. Partiernes Kvota betegnes henholdsvis k_A, k_B, ... k_L og deres mandattal m_A, m_B, ... m_L. U står for "uretfærdighed" og indekset P hentyder til at det er uretfærdighed set fra partiernes synspunkt. Det er nemt at forstå: Mandattallet for hvert enkelt parti bør ligge så tæt op af dets kvote som muligt. Det er derfor oplagt at kigge på forskellene. Det giver ikke mening bare at lægge dem sammen, for nogle kan være positive og andre negative og så vil store forskelle kunne ende med at blive udlignet. Derfor sætter man dem i anden potens og summerer op. Det er vigtigt at forstå, at der er tale om et valg her: Man kunne også have opsummeret de numeriske værdier af forskellene. Der er dog kotume for i matematikken at gøre som ovenfor, altså tage kvadratroden af kvadratsummen. En lignende fremgangsmåde benyttes i øvrigt i en helt anden sammenhæng: Mindste kvadraters metode ved regression. Det er vigtigt at bemærke, at udtrykket U_P afhænger af det konkrete valgresultat.

Man kan vise, at største brøks metode er den metode, der er mest retfærdig i henhold til ovenstående definiton af uretfærdighed, hvor det ses fra partiernes synspunkt.

Man kan også vælge at tage et helt andet synspunkt: at kigge på uretfærdigheden set fra vælgernes synspunkt. Igen vil jeg starte med at opstille en hensigtsmæssig formel og kommentere den bagefter. Da det er uretfærdighed set fra vælgernes synspunkt, vil jeg kalde den U_V.

Her er s_A, s_B, ... s_L stemmetallene for de enkelte partier. M er det samlede antal mandater og S det samlede antal stemmer. Lad os igen overveje berettigelsen af denne formel. En vælger vil typisk være interesseret i at hans/hendes stemme tæller så meget som muligt. Jo større en del af et mandat vælgerens stemme kan bidrage med jo bedre. Men m_A/ s_A er netop den del af et mandat, som vælgeren, der stemmer på parti A, kan "købe". Ideelt set burde et mandat koste det samme for alle vælgere, uanset parti, og det burde være M/S. Forskellen M/S - m_A/ s_A  for partiet A kan betegnes som uretfærdigheden overfor en A-vælger. Er tallet positivt er A-vælgerne uheldige, ellers heldige. I begge tilfælde betragtes det som en uretfærdighed. Vi skal udregne disse forskelle for alle vælgere. Vi tager som ovenfor kvadratsummen af forskellene. Herved dukker "vægtene" s_A, s_B, ... s_L op, da hver parentes figurerer netop det antal gange i summen. Vi har dermed den totale uretfærdighed ved den betragtede mandatfordeling, set ud fra vælgernes synspunkt.

Man kan vise, at Sainte-Laguës metode, i henhold til ovenstående definition, er den mest retfærdige mandatfordelingsmetode set fra vælgernes synspunkt.

Igen kan du i [1] finde meget mere udpenslet herom. Noget er forlagt til opgaver, som eventuelt kan bruges i projekter.

11. Historien der førte til Danmarks Riges Grundlov

Emnet mandatfordelinger er relevant selv i forbindelse med afstemninger i den lokale bridgeforening eller i en faglig forening, men det ypperste eksempel man kan behandle er nok styret i ens eget land. Enhver dansker bør vel kende lidt til hvad vores demokrati bygger på. Det er her Danmarks Riges Grundlov kommer ind i billedet. I det følgende vil jeg give en kort beskrivelse af hvordan grundloven blev til.
 

1800-tallet et stort århundrede

1800-tallet var en fantastisk periode i den danske historie. Her gik Danmark fra at blive regeret af en enevældig konge til at blive et repræsentativt demokrati. Kunstnerisk set var det et sprudlende århundrede, startende med det vi nu benævner guldalderen med legender som digteren H. C. Andersen (1805-1875), filosoffen Søren Kierkegaard (1813-1855), guldaldermalere som C. W. Eckersberg (1783-1853) og Christen Købke (1810-1848), billedhuggeren Bertel Thorvaldsen (1770-1844) og salmedigteren og initiativtager til folkehøjskolerne  N. F. S. Grundtvig (1783-1872). Også naturvidenskaben oplevede et stort århundrede med folk som H. C. Ørsted (1777-1851) og i sidste del af det 19. århundrede blev Danmarks største fysiker igennem tiderne, Niels Bohr (1885-1962), født. I det 19. århundrede oprettedes en række af de vigtige uddannelsesinstitutioner, som den dag i dag er en vigtig grundpille i det danske uddannelsessystem: Den Polytekniske læreanstalt i 1829 (i dag Danmarks Tekniske Universitet eller DTU), det matematisk-naturvidenskabelige fakultet ved Københavns Universitet i 1850, Den Kongelige Veterinær- og Landbohøjskole i 1858 (i dag Det Biovidenskabelige Fakultet ved Københavns Universitet), Danmarks Meterologiske Institut i 1872, Den Farmaceutiske Læreanstalt i 1892 (i dag Det Farmaceutiske Fakultet ved Københavns Universitet), m. fl. Sidste halvdel af 1800-tallet bød på en omfattende industrialisering, som afgørende forvandlede samfundet. Dampskibe, jernbaner, telegrafer, telefoner, jernkonstruktioner, elektrisk lys og diverse anvendelser af den elektriske strøm vandt indpas. Landbruget blev effektiviseret gennem dræning og kunstgødning og overgang til animalsk produktion. Bondestanden blev mere oplyst og selvbevidst og sluttede i 1840'erne alliance med borgerskabet, som krævede indflydelse på landets styre. Der var vokset en stærk opposition frem til enevælden.

Man kan overveje hvad der kan være årsagen til en så gennemgribende forandring af det danske samfund. I 1788 var stavnsbåndet blevet ophævet og sammen med en lang række forordninger i de efterfølgende år udgjorde de det, der i dag går under betegnelsen landboreformerne. Bønderne fik generelt bedre forhold, og det blev muligt for dem at eje deres egen jord. Det gav bønderne et ekstra incitament, som formentlig har medvirket til en øget produktion. Historikere har gisnet om hvad der fik magthaverne, ansporet af C. D. Reventlow, til at gennemføre lempelserne: Måske ville man "lukke lidt damp ud af kedlen" efter en voksende utilfredshed i det danske samfund, og måske skelede man også til den revolutionære situation ude i Europa. Eller måske forudså magthaverne simpelthen at et bedre forhold for bonden ville gøre ham mere tilfreds og give et større udbytte i længden?

Slutningen af 1700-tallet var en meget gunstig periode for landbruget med stigende kornpriser. Èn årsag var blandt andet Napoleons-krigene, hvor Danmark i begyndelsen forholdt sig neutral. I 1800 indgik landet dog et neutralitetsforbund med Rusland og Sverige for at få neutraliteten respekteret. Men englænderne mente at neutraliteten blev misbrugt af fjendens skibe og i 1801 angreb de Danmark i det velkendte "Slaget på Reden", hvor englænderne besejrede den danske flåde. Danmark beholdt skindet på næsen, men i 1807 blev de sat over for et ultimatum fra England, som frygtede at Danmark ville gå med i en fastlandsblokade mod England foranstaltet af Frankrig: De krævede den danske flåde udleveret. Danmark nægtede og England angreb påny. København blev bombarderet og efter få dage, hvor ca. 2000 mennesker omkom og mange bygninger blev ødelagt eller beskadiget, overgav byen sig. Englænderne førte derefter den store danske flåde til England. Hændelsen tvang mere eller mindre Danmark og dermed Norge til at tage parti for Frankrig. For at gøre historien kort, så endte det med at Frankrig - og dermed også Danmark - tabte krigen. Danmark måtte i 1814 afstå Norge til Sverige. Den danske stat var endvidere gået bankerot i 1813. Fra 1814 til omkring 1830 lå Danmark underdrejet økonomisk set - der var krise. Herefter blev det gode tider igen for landbruget, der takket være den begyndende industrialisering i de omkringliggende lande, især England, kunne eksportere mere og mere korn, og til bedre og bedre priser. De gode tider for landbruget smittede af på byerne, hvor der kom gang i handel og produktion. Her voksede befolkningstallet hurtigt og der var brug for korn. Landbrugsproduktionen var også blevet væsentligt mere effektiv, som antydet ovenfor.  
 

Moden til demokrati

Efter revolutionen i Frankrig i 1830 opstod der i Europa en betydelig politisk interesse. Man var generelt set utilfredse med enevælden og ønskede en fri forfatning. Interessen betød også en stærkere nationalfølelse. Mange steder opstod der national-liberale grupper. Det var også tilfældet i Danmark. Ud over afskaffelse af enevælden ønskede partiet en styrkelse af danskheden i Sønderjylland. Tilhørsforholdet for indbyggerne i det sydlige geografiske område var faktisk temmelig kompliceret. Der var to hertugdømmer, Slesvig og Holsten. Førstnævnte gik groft sagt fra Kongeåen (og Kolding Å) til Ejderen i det nuværende Tyskland. Holsten lå syd derfor mellem Ejderen og Elben. Den danske konge var både medhertug (lensmand) og konge (lensherre) i Slesvig. I Holsten var han medhertug, mens Holsten på samme tid var optaget i det Det tyske Forbund. Det skal lige nævnes, at når man dengang sagde "Sønderjylland", så mente man med nogle få ubetydelige landmæssige undtagelser, Slesvig. I praksis blev Slesvig og Holsten regeret af adelen her og det gik fint så længe kongen ikke blandede sig for meget. Mens Holsten var helt tysk kunne Slesvig siges at være halvt dansk. Det kan ikke undre at den øgede nationalisme i 1830 og fremefter skabte røre i den løse og "uafklarede" situation i Slesvig-Holsten.

Som nævnt var der begyndt at blive vakt en interesse for politik i Danmark, ikke mindst blandt akademikere og studenter. Det var næsten udelukkende de national-liberale tanker, der blev fremført. Blandt de ledende agitatorer var juristen Orla Lehmann og teologen D. G. Monrad. De blev senere grundlovens vigtigste ophavsmænd. Sidstnævnte endte senere med næsten på egen hånd at formulere grundloven. Ganske vist blev kongen i 1831 åben for oprettelsen af stænderforsamlinger fire forskellige steder i Danmark, hvor der kunne gives gode råd til kongen. Men det var kun en lille priviligeret gruppe af personer, der havde adgang. Orla Lehmann forsøgte at overbevise bønderne om, at en fri forfatning også ville være til gavn for dem. Det fik han tre måneders fængsel for. Man var fra magthavernes side bange for at bønderne ville lade sig påvirke af de national-liberale. Det lykkedes dog slet ikke at forhindre dette, og i 1846 stiftedes Bondevennernes Selskab. Her kunne bønderne og de liberale mødes.

I februar 1848 udbrød den tredje revolution i Frankrig. I løbet af marts forplantede dens virkninger sig til Tyskland. Den 18. marts besluttede nogle tysksindede mænd fra stænderforsamlingerne i Slesvig og Holsten at sende en delegation fra Kiel til København med krav om en fælles Slesvig-Holstensk forfatning. Det ville betyde at Slesvig skulle optages i det tyske forbund, og det kunne Danmark naturligvis ikke gå ind på. Herefter fulgte et fortættet drama. Da oplysningerne om de tysksindedes hensigter nåede til København, sammenkaldte de ledende national-liberale fortalere til et møde i Casino Teatret den 20. marts. Knap 3000 mennesker deltog! På mødet talte Lehmann og Monrad, og der blevet vedtaget en resolution med et krav om at indføre en fri forfatning og om Sønderjyllands tilknytning til Danmark - man ønskede altså et Danmark til Ejderen! I resolutionen, forfattet af Orla Lehmann, sluttede han med ordene: "Vi anråber Deres Majestæt om ikke at drive nationen til fortvivlelsens selvhjælp". Dagen derefter - den 21. marts. - drog et folketog på 12-15.000 mennesker fra Nytorv ad Strøget mod Christiansborg Slot med den københavnske borgerrepræsentation i spidsen. Man ville forelægge resolutionen for kongen, og man ville bede ham vælge ministre, der havde folkets tillid. Kong Frederik den VII., som netop var blevet konge efter Christian den VIII, der var død 20. januar samme år, indvilgede. Der blev oprettet et ministerium, der var stærkt præget af de national-liberale, med deltagelse af både Lehmann, Monrad og Tscherning. Nedenfor kan du se en tegning af folketoget til Christiansborg samt en tegning af et opløb dagen efter.

I krig med tyskerne

Det svar, som Orla Lehmann gav deputationen fra Kiel, var en tilkendegivelse af kongens urokkelige hensigt at "styrke Slesvigs uopløselige forbindelse med Danmark ved en fælles fri forfatning". De tysksindende reagerede på afvisningen med at proklamere en provisorisk regering i Slesvig-Holsten og angribe og indtage fæstningen Rendsborg. Krigen med tyskerne var dermed en kendsgerning, og krigen blev ført i flere omgange. Danskerne havde opnået en øget grad af national identitet. Man begyndte at føle sig som en del af et fællesskab med samme sprog og historie, og man var klar til at kæmpe for sit land. Der tales om "ånden fra 1848". Danmarks skæbne var ikke længere lagt i hånden på kongen og adelen; den menige indbygger havde fået noget at skulle have sagt, i det mindste i det små, og der skabtes en større offervilje i befolkningen. Et af de bedste eksempler på det er udfaldet fra Fredericia. En deling under ledelse af general Bülow var blevet indesluttet i fæstningen Fredericia af slesvig-holstenske soldater. Med hjælp fra Olaf Ryes tropper, der ad søvejen blev transporteret til Fredericia, gjorde man et samlet udfald imod fjenden den 6. juli 1849, og tyskerne blev slået på flugt. I 1858 blev der rejst en statue i Fredericia, Den Tapre Landsoldat, udfærdiget af en af Danmarks betydeligste billedhuggere, H. W. Bissen, til minde om sejren i Fredericia.
 

Nedenstående maleri viser også begejstringen over de tapre landsoldater: Den 9. september 1849 fejredes de hjemvendende soldater i København. De marcherede igennem en vældig triumfbue på Nytorv ned mod et flagsmykket Strøget.

Efter treårskrigen fulgte endnu en krig i 1864. Her led Danmark nederlag ved Dybbøl, hvorefter Danmarks grænse kom til at gå ved Kongeåen. Efter 1. verdenskrig, nærmere bestemt i 1920, fik Danmark dog en del af det tabte tilbage.

Grundloven skrives

Arbejdet med den nye forfatning foregik ved at der blev valgt en Grundlovgivende Rigsforsamling på 152 personer. Den 23. oktober 1848 samledes forsamlingen i højesteretssalen på Christiansborg. Der var ingen egentlige partier, men deltagerne delte sig i tre omtrent lige store grupperinger: Højre, som var de konservative, de national-liberale, der kunne siges at ligge i centrum og bønderne, som repræsenterede venstrefløjen. Et udkast til en grundlov var blevet udfærdiget af især Monrad og Lehmann, i særdeleshed førstnævnte. Monrad var en 37-årig teolog og kultusminister i regeringen. Han havde især kigget på den belgiske grundlov fra 1831 og den norske fra 1814. Det blev foreslået, at der skulle være et Landsting (førstekammer) og et Folketing (andetkammer). Arbejdet med grundloven fortsatte ind i foråret 1849. Det der rejste den største debat var ikke overraskende omfanget af valgretten. Mens Monrad ønskede en almindelig valgret, trak højre i den modsatte retning. Her frygtede man for kraftige omvæltninger, hvis alle fik valgret. Men nogle højrefolk frygtede også bøndernes reaktion, hvis de ikke blev tilgodeset. Det skal siges, at der også var liberale, der var lidt tøvende med at give almindelig valgret. Der endte dog med at blive flertal for almindelig valgret. Den grundlovgivende forsamling ændrede kun på grundlovsteksten på mindre vigtige punkter. Selv om man på mange måder var nyskabende, så kom det slet ikke på tale at give kvinder valgret - det lå alt for fjernt, og blev først gennemført med grundlovsændringen i 1915! Den 25. maj 1849 blev den endelige afstemning om grundloven gennemført og den blev vedtaget med overvældende flertal. Magtens tredeling i den lovgivende, den udøvende og den dømmende magt blev præciseret, helt i overensstemmelse med den franske samfundsfilosof Charles de Montesquieu (1689-1755) - (se Demokratikanon side 32 under Links nedenfor). Ved samme lejlighed blev ejendomsrettens ukrænkelighed, ytringsfriheden og den politiske forsamlingsfrihed grundlovsfæstede! Den almindelige værnepligt blev fastslået og enhver fortrinsret, der var knyttet til en adelstitel eller lignende i den gamle lovgivning, blev fjernet. Folketinget skulle have 100 medlemmer og Landstinget 51. Regler om stemmeret og valgbarhed betød i praksis, at mænd over 25 år, som var overhoved i en husstand, var deltagere i det nye styresystem ("husbonddemokrati"). Grundloven blev underskrevet af kong Frederik den 7. den 5. juni 1849.

På billedudsnittet ses D. G. Monrad til venstre og Orla Lehmann til højre i forgrunden - med krigsminister A. F. Tscherning gestikulerende i mellem dem bagved. Helt ude til højre, omkring Lehmanns venstre skulder aner man endda N. F. S. Grundtvig helt i baggrunden. Klik  på billedet til højre for at få en forstørret udgave af udsnittet.

På Christiansborg kan man se grundlovsbøgerne fra 1849, 1866, 1915 og 1953 i en glasmontre. Fotos kan ses nedenfor. Det skal tilføjes, at der også forekom små ændringer af 1915 grundloven i 1920, efter 1. verdenskrigs afslutning og genforeningen af Sønderjylland med Danmark. Endnu en gang tak til medarbejderne på Christiansborg for deres venlighed i forbindelse med mit besøg der.
 

12. Litteratur

13. Links

www.folketinget.dk
www.dst.dk  (Danmarks Statistik - kig evt. under Befolkning og valg i Statistikbanken )
www.grundloven.dk  (Danmarks nuværende grundlov)
Min grundlov  (En forklaret udgave af grundloven)
http://static.uvm.dk/Publikationer/2008/demokratikanon/index.html  (En 101 sider lang Demokratikanon i pdf format kan downloades herfra)
http://da.wikipedia.org/wiki/Christiansborg  (Christiansborgs historie)
http://en.wikipedia.org/wiki/United_States_congressional_apportionment  (Om Repræsentanternes Hus i USA)
www.thirty-thousand.org/pages/Apportionment.htm  (Giver godt overblik over de metoder der igennem tiderne er blevet overvejet eller benyttet for Repræsentanternes Hus i USA)
www.whitehouse.gov/about/presidents/  (Om USA's præsidenter)
https://www.census.gov/topics/public-sector/congressional-apportionment.html