Archimedes' vurdering af pi

Fortsat fra siden om pi:

Vi vil forklare den rekursive procedure både hvad angår tilnærmelsen med omskrevne polygoner og hvad angår tilnærmelsen med indskrevne polygoner.

Tilnærmelse med omskrevne polygoner

Vi vil se, hvad der sker med nogle størrelser, når der foretages et skridt, altså fordoblingen af antallet af sider i den omskrevne polygon. Lad t_n repræsentere den halve side i en regulær n-kant, omskrevet om en cirkel med radius r. t_2n er da den halve side i den nye regulære 2n-kant. Resten af størrelserne på figuren giver sig selv. Hvis n = 3 svarer figur 2 til den grønne trekant på figur 1. For hvert skridt i processen er der to forhold vi vil føre videre:

Jeg vil vise, hvordan Archimedes bestemte de to forhold til højre ud fra de to forhold til venstre. Her får vi lige først brug for en sætning om vinkelhalveringslinjer i en trekant, som var kendt på Arkimedes tid. For dem, som gerne vil se et nutidigt bevis for sætningen, har jeg givet et, som involverer sinusrelationen. Vær dog opmærksom på, at sinus-funktionen og dens relationer ikke var kendt på Archimedes tid! Sætningen blev dengang bevist på en anden måde.

Vi skal jo fordoble antallet af sider og opnå en regulær polygon, så vinklen AOB i figur 2 skal halveres. Det er sket med linjestykket OQ. Bruger vi ovenstående sætning på trekant AOB, får vi:

Bemærk, at hermed haves det første ønskede forhold i den nye polygon, eftersom højresiden netop indeholder de kendte udtryk fra den gamle polygon! For at få det sidste forhold i den nye trekant bruger vi Pythagoras' sætning på trekant OAQ:

hvormed også det sidste forhold i den nye trekant er bestemt! Bemærk, at i den allerførste polygon - sekskanten svarende til n = 3 - er trekant AOB en 30-60-90-graders trekant. Heri kendes forholdene mellem siderne:

Ved at bruge formel 1 og formel 2 ovenfor kan han bestemme forholdene i den næste polygon, som har 12 sider, dvs. bestemme

Archimedes rundede undertiden af til passende rationale forhold. I øvrigt gjorde han brug af følgende vurdering, som han i frovejen kendte:

Efter fire skridt og en del udregninger nåede han frem til følgende vurdering:

Da t₉₆ er den halve side i den regulære 96-kant, så er omkredsen af polygonen lig med 192 gange t₉₆. Herved kunne Archimedes vurdere pi fra den ene side:

Tilnærmelse med indskrevne polygoner

Også her skal vi komme med en vurdering ved en rekursiv proces, hvor antallet af sider i den indskrevne polygon fordobles i hvert skridt. Som før er der to bestemte forhold, som vi vil udregne i hvert skridt.

Vi skal se, hvorledes vi bestemmer de to forhold for den nye polygon udfra forholdene for den gamle trekant. Igen bemærker vi, at man skal halvere vinklen for at fordoble antallet af sider. Derfor har vi tegnet halveringslinjen AD til vinklen BAC på figur 3. Der er en velkendt sætning, som siger at Periferivinkler er halvt så store som centervinkler. Da vinklen BOA er 180°, så må periferivinklerne ACB og ADB altså være halvt så store, altså 90°. Ved at kigge på vinkler ser vi nu nemt, at trekanterne ACE og ADB er ensvinklede. Heraf fås:

hvor sidste lighedstegn fås af sætningen i den gule ramme:

Arbejder vi videre på den næstsidste formel fås:

Igen bruges Pythagoras' sætning, nu på trekant ADB:

Formlerne 3 og 4 kan dermed benyttes til at bestemme de to forhold i den nye trekant udfra de tilsvarende forhold i den gamle trekant. Da s_n er siden i polygonen med n sider, så er omkredsen i den indskrevne 96-kant lig med 96 gange s₉₆. Da Archimedes endvidere efter rekursionsprocessen og diverse afrundinger finder at:

kunne han endeligt vurdere pi nedadtil:

Alt i alt får han altså følgende vurdering på pi:

Hvordan Archimedes udregnede kvadratrødder for at bruge for eksempel formel 4 ved vi ikke. Der er dog nok ingen tvivl om, at de samlede beregninger har været omfattende for Archimedes.