Piet Heins Superellipse

Rektangler og ellipser dukker op overalt i vores verden. Kvadrater og cirkler er specialtilfælde heraf. Vi ser dem i bygninger, borde, cigaretpakker, bøger, tallerkener, vinglas, billedrammer, ... Ja overalt, hvor vi kommer, sværmer det med disse grundlæggende geometriske former. Den danske forfatter og opfinder Piet Hein (16. december 1905 - 18. april 1996) stillede sig engang det interessante spørgsmål: Hvilken geometrisk form imellem rektanglet og ellipsen er den smukkeste?

 

Sergels torg i Stockholm

Heins spørgsmål udsprang af en opgave han havde fået af Stockholms bystyre i 1959. Hvilken form skulle man give en stor rundkørsel i midten af en ny plads eller torv i Stockholms centrum, kaldet Sergels Torg? En firkant ville have den fordel, at rundkørslen ville være parallel med pladsens sider. En cirkel ville være mere naturlig, hvis man ønskede at få trafikken til at flyde let. Piet Hein søgte nu en kombineret form, der skulle være veldefineret og følge et matematisk, gentageligt princip.

Han blev inspireret af formlen for en almindelig ellipse, som er

Ved at eksperimentere indså han, at ved at gøre eksponenten større og større, ville løsningskurven mere og mere komme til at ligne en firkant. Når man tillader eksponenter, som ikke er hele tal, må man, for at det hele er veldefineret, kræve, at det man opløfter, er positivt. Derfor må man sætte numerisk tegn omkring det, som bliver opløftet. Funktionen den numeriske værdi, undertiden også betegnet den absolutte værdi, er defineret ved udtrykket:

Den ligning Piet Hein betragtede var altså

hvor a og b er to positive tal og n er et eller andet reelt tal. Han kaldte alle løsningskurver, hvor n er større end 2 for superellipser. Til sin aktuelle opgave fandt han, at værdien n = 2½ gav den mest æstetiske og bedste visuelle virkning. Som forholdet mellem a og b anvendte Piet Hein forholdet 6:5 for Sergels Torv.

 

Superellipse bord

I 1968 producerede man et designbord med superellipse som bordflade. Dets dimensioner var 1,8 m i længden og 1,2 m i bredden. Nedenfor har jeg tegnet en superellipse med netop dette forhold mellem a og b, dvs. i forholdet 3:2 (rød kurve). Samtidigt har jeg tegnet den kurve man får som løsningskurve, hvis man bruger n = 2 i ligningen ovenfor. Dette svarer faktisk til en sædvanlig ellipse (blå kurve). Man ser, at superellipsen med n = 2½ er mere " firkantet". Jo større n vælges, jo tættere vil løsningskurven være på en firkant. Hvis man derimod sætter n = 1, så får man den inderste grønne kurve som løsningskurve. Det overlades til læseren at studere de forskellige kurver.

 

 

 

Hvordan tegner man en superellipse?

På computere eller lommeregnere kan man tegne en superellipse med lidt snilde. For det første er det nødvendigt at finde en parameterfremstilling for løsningskurven til (*). Man indser ret nemt, at en mulighed er at sætte

for indsætter man dette udtryk i (*), så får man den velkendte " idiotformel" :

som er universelt opfyldt. Når vi lader t løbe i intervallet fra -pi til pi, så vil vi med ovenstående parameterfremstilling få fire delkurver, én i hver kvadrant, svarende til de fire mulige kombinationer af fortegn. Tilsammen vil disse delkurver danne superellipsen. Hvis vi er smarte, kan vi imidlertid gøre det i ét hug uden at skulle tegne en " stykvist defineret kurve" . Vi kan nemlig inddrage fortegns-funktionen sgn (signum), defineret ved:

Med nedenstående valg af parameterfremstilling vil de første led i koordinat-udtrykkene nemlig "cykle" igennem de fire mulige kombinationer af fortegn automatisk. Vi skal så bare lade t løbe fra -pi til pi, og hele kurven vil blive tegnet.

eller, hvis man ønsker den skrevet med funktionen abs:

Hvis man ikke har fortegns-funktionen til rådighed (fx på sin grafregner), så kan man bruge følgende udtryk:

man skal så bare passe på, at vælge nogle step i beregningerne af støttepunkter, som ikke resulterer i, at nævneren giver 0!

Nedenstående pdf-fil indeholder en print-bar superellipse med forholdet a:b lig med 3:2.

For hjælp til at downloade klik her. For information om pdf format og brug af Adobe Reader klik her.

Superellipse-eksempel (11 kB)

 

Gabriel Lamé

Det sker ikke sjældent, at man tror man har med en ny opdagelse at gøre og så senere må erkende, at der er nogen, som har betragtet det tidligere. I tilfældet med løsningskurver til (*), så blev de faktisk allerede studeret af den franske matematiker og fysiker Gabriel Lamé (1795 - 1870) i 1818. Nedenfor har jeg tegnet kurver med (a,b)-forholdet lig med 1. For n = 2½ får vi derfor en supercirkel, for n = 2 den sædvanlige cirkel, for n = 1 det tippede kvadrat. Kurven svarende til n = 2/3 er også afbildet. Den har faktisk også et andet navn: Astroiden. Hvis man benytter to cirkler, den ene med fire gange så stor radius som den anden, så kan man faktisk frembringe astroiden ved at lade den lille cirkel køre rundt på indersiden af den store og betragte den kurve, et fast afmærket punkt på den lille cirkel beskriver. Nok om det her.

 

 

Superellipse mania!

Efter Piet Heins opfindelse dukkede superellipser op mange steder. En Toronto arkitekt Gerald Robinson anvendte en variant af superellipsen til et parkeringshus i et indkøbscenter i Peterborough. Han anvendte (a,b)-forholdet 9:7, men fandt at kurven så bedst ud, når n var lidt større end 2,7. Som n valgte han derfor meget nærliggende grundtallet for den naturlige logaritme, e = 2,7182818... I forbifarten kan det i øvrigt nævnes, at det har den konsekvens, at alle punkter på ovalen, udover de fire " yderste" punkter, alle bliver det man i matematisk sprog kalder transcendente.

Andre spekulerede i superellipsevarianter, hvor (a,b)-forholdet var som det gyldne snit. I et brev publiseret i New York Times i december 1968, foreslog Michel L. Balinski og Philetus H. Holt III at fremstille et superellipsebord med (a,b)-forholdet i det gyldne snit med n = 2½ i forbindelse med de kommende fredsforhandlinger om Vietnam i Paris. På det tidspunkt skændtes diplomaterne nemlig om, hvem der skulle sidde for enden af bordet! Hvis man ikke kunne blive enig om en bordform, så skulle kombatanterne, ifølge de to foreslagsstillere, puttes ind i et hult superæg og rystes indtil de var kommet til en superelliptisk enighed!

Superellipseformen blev også anvendt i forbindelse med det olympiske stadion i Mexico City fra 1968 og skyskraberkonstruktioner i USA. Da Piet Hein og hans superellipse var på toppen af sin popularitet, kom han på forsiden af Life magazine (1966) med sin superellipse.

 

Lidt om krumning

Givet en kurve i planen, som er fremstillet ved en vektorfunktion. Hvis vektorfunktionen er to gange kontinuert differentiabel i et punkt P og den første afledede er forskellig fra nulvektoren i P, så kan man definere en krumning k for kurven i punktet P. Man kan da vise, at kurven kan tilnærmes med en cirkel med radius r = 1/k i nærheden af P. Påstanden kan illustreres for en ellipse: I punkterne A og B er kurven tilnærmet med en cirkel. Krumningen er selvfølgelig størst i A og mindst i B, hvorimod det er omvendt med radierne i de tilhørende krumningscirkler.


Man kan godt have kurver, som i et punkt har en krumning som er 0. I så fald vil kurven ikke kunne tilnærmes med en cirkel i nærheden af punktet. Lidt upræcist kan man sige, at cirklen i givet fald skulle have uendelig radius. Ellipsen har i ethvert punkt en krumning, som er forskellig fra 0. Rent stabilitetsmæssigt betyder det, at ligegyldig i hvilket punkt ellipsen hviler, så vil den være ustabil, forstået på den måde, at et nok så lille puf i princippet vil kunne bringe ellipsen til at rulle! Det passer fint med, at ellipsen i ethvert punkt har en krumningscirkel med en endelig radius, og cirkler kan jo rulle ......

Lad os gå en dimension op til at betragte en flade i rummet. Hvis fladen er glat, kan man i ethvert punkt P tildele den en tangentplan, som skitseret på figuren nedenfor.Man kan nu forestille sig, at man snitter i fladen med en plan, som er vinkelret på tangentplanen. Vi kalder dette for et normalt snit. Et sådant snit vil udskære en kurve på fladen. Da kurven er plan kan vi udregne dens krumning ifølge teorien ovenfor. På figuren nedenfor er vist normalsnit i punktet P i to retninger givet ved vektorerne v1 og v2. Meget naturligt kaldes krumningerne af de to snitkurver for normalkrumningen for fladen i retningerne v1 og v2. Det viser sig, at man kan finde en retning, hvori normalkrumningen er minimal og en retning hvori normalkrumningen er maksimal. Disse retninger kaldes for de principale retninger og de tilhørende krumninger k1 og k2 for de principale krumninger. Vi definerer herefter:

I differentialgeometrien er begge disse størrelser meget vigtige, men det vil føre for vidt at komme nærmere ind på her. Blot vil jeg nævne, at hvis både k1 og k2 er 0 i punktet P, så vil normalkrumningen i punktet P være 0 i enhver retning. Det kan man vise. Et sådant punkt vil vi kalde for et planpunkt. Dermed er det, i tråd med ovenstående overvejelser i det plane tilfælde, ikke svært at overbevise sig om, at en flade til være stabil i punktet P hvis og kun hvis alle normalkrumninger i punktet P er lig med 0. Det er altså nødvendigt, at Gauss-krumningen er 0, men ikke tilstrækkeligt! For eksempel er Gauss-krumningen på en Torus (dvs. et " rør" ) lig med 0, da den ene principale krumning er 0, mens den anden er forskellig fra 0. Og en Torus kan jo godt rulle....

 

 

Det stabile superæg

Piet Hein nøjedes selvfølgelig ikke med at se på plane kurver. Hvis man drejer en superellipse om en af dens symmetriakser, så får man et superæg. Nedenfor er afbildet en model i træ, som har forholdet a:b lig med 4:3. Superægget har en højst interessant egenskab. I modsætning til et almindeligt æg, så er det nemlig stabilt i begge ender. Hvis det for eksempel står på højkant, som på figuren nedenfor, så vil et lille tilt ikke resultere i, at ægget vælter. Gør man derimod det samme med et almindeligt æg, så vil en nok så lille skub få ægget til at vælte. Forklaringen er skitseret i afsnittet om krumning ovenfor: Superellipsen har to planpunkter, dvs. punkter hvor normalkrumningen er 0 i alle retninger i tangentplanen. Alle superæg er i princippet stabile, uanset deres (a,b)-forhold. Men det siger sig selv, at hvis ægget er meget højt i forhold til dets bredde, så skal der ikke så stort et skub til at vælte det. Men sagen er altså, at man for et givet (a,b)-forhold, kan angive en vinkel, sådan at hvis ægget ikke tilter mere end denne vinkel, så vil det ikke vælte.

 

 

En anden model er lavet af metal og er ca. 3 cm høj. Den kan blandt andet købes hos forretningskæden Inspiration, og kommer med en lille læderpose. Den sælges som en slags " stresskugle" eller amulet:

 

 

Verdens største superæg, lavet af stål i aluminium, og med en vægt på 1 ton, blev anbragt udenfor Kelvin Hall i Glasgow i oktober 1971, til ære for Piet Hein, som besøgte stedet i forbindelse med en udstilling af moderne hjem.

En rigtig fin version af Piet Heins Superæg kan findes på Egeskov Slot på Fyn. En tak til webmasteren på følgende side http://www.astoft.co.uk/herrefyn.htm, der omtaler det eksotiske slot, for at have givet mig tilladelse til at vise følgende billede af superægget:

 

 

Areal og Volumen

I denne sektion skal vi se på arealet af superellipsen og volumenet af superægget. For at der ikke skal opstå misforståelser, vil jeg lige præcisere, at der findes to tredimensionale " udvidelser" af superellipsen, nemlig superellipsoiden og superægget. Førstnævnte har den egenskab, at snit parallelle med xy-, xz- eller yz-planen vil give superellipser som snitkurver! Superægget derimod fremkommer ved at dreje en supereellipse om en af dens akser: Der er altså tale om et omdrejningslegeme! Ligningerne for de to typer er givet ved:


hvor sidstnævnte er drejet omkring x-aksen. Som det første vil jeg bestemme arealet af superellipsen:

Værdien af sidstnævnte integrale fås som følger:

hvor 2F1 er den Hypergeometriske funktion og G er Gammafunktionen. Vi har endvidere anvendt følgende identitet:

Indsættes udtrykket for integralet i udtrykket for A ovenfor fås:

Specielt for Piet Heins tilfælde med n = 2,5 fås altså:

altså som forventet lidt over arealet af en ellipse, som er pab.

Nu til volumenet af superægget:

Værdien af sidstnævnte integrale fås som følger:

Indsættes udtrykket for integralet i udtrykket for V ovenfor fås:

Specielt for Piet Heins tilfælde med n = 2,5 fås:

:

der som ventet er lidt større end volumenet af en omdrejningsellipsoide: 4/3pab2 = 4,1887902 ab2.

Lad os endelig se på volumenet af superellipsoiden, som altså ikke er et omdrejningslegeme (ikke et superæg!):

Her fås følgende formler for volumenet:

Specielt fås for tilfældet med n = 2,5:

altså forventeligt lidt større volumen end superægget (for b = c). Læsere, som er interesseret i detaljer for beregningen af volumenet henvises til at anvende nedenstående knap:

 

 

Hjemmelavet superellipsebord

Jeg er tidligere blevet kontaktet af nogle personer, som kunne tænke sig at lave deres eget bord i superellipseform i sløjdlokalet. Deres problem er at tegne superellipsekurven ind på bordpladen. Uheldigvis er der ikke nogle simple metoder med snore, som i tilfældet med en almindelig ellipse (see Ellipser og æg). Hvis man har adgang til en storformatprinter på en rigtig arkitekt tegnestue, kan man eventuelt få printet kurven ud på papir fra et teknisk tegneprogram, som kan håndtere matematisk definerede kurver. Man klipper så papiret til langs kurven og tegner derefter langs randen på træpladen.

Hvis denne mulighed ikke er tilstede, så ser jeg ikke andre muligheder end at man på bagsiden af bordet eller på et meget stort stykke papir med let blyant tegner et net af linjer, som kan hjælpe en til at afsætte nogle støttepunkter, eventuelt udregnet i regnearket Excel. Når tilstrækkelig mange punkter er afsat kan man tegne en blød kurve igennem punkterne ... På figuren nedenfor har jeg illustreret situationen for et bord med længden 150 cm og bredden 100 cm. Man finder det lille kvadrat i nettet med sidelængden 4 cm, hvor punktet skal afsættes. Derfra kan den nøjagtige position af støttepunktet indenfor dette lille kvadrat ret nemt findes! God fornøjelse!

 

Excel-fil til beregning af superellipse data (235 kB)


 

Højttaler med superellipse-design

Jeg har i 2008 haft den fornøjelse at blive kontaktet af en læser, som var i gang med at konstruere en højttaler med superellipse-design! Jan er en vaskeægte Hifi-entusiast, som ikke blot ved en masse om højttalere, men som også er rigtig god til det matematisk-datalogiske. Opgaven var i en højttaler at finde en god form til den del af mellemtone-diskanthornet, som danner overgangen fra den cirkulære munding i kompressionsdriveren (Engelsk: Compression driver) til den ydre del af mellemtone-diskanthornet, som har firkantede snit. Ikke sjældent er det fornuftigt at kigge efter kurver og flader, som er matematisk definerede. Jans idé var her at anvende superellipsen som udgangspunkt. Som det fremgår af ovenstående har man for n = 2 en cirkel og når n går mod uendelig, vil kurven nærme sig til en firkant! Klik på figurerne nedenfor og få eventuelt en større udgave af figuren!  

Lidt mere præcist: Et snit med en plan parallel med x-z-planen skal give en superellipse. Men overgangen fra cirkel til rektangel kan foretages på mange måder. Her valgte Jan at superellipsernes bredder i x-aksens retning skal vokse lineært, mens superellipsernes højder skal aftage som en bestemt cosinus-funktion i z-aksens retning. Endelig sørgede han for at tilpasse superellipsernes parameter n, så superellipsernes arealer vokser lineært i y-aksens retning. Det vil føre for vidt at komme ind på alle detaljer her. Jan har udført et virkeligt imponerende matematisk modelleringsarbejde her! På nedenstående figur kan du se, hvordan cirklen i skridt ændres til et rektangel i y-aksens retning.

Først beregnede Jan en masse målepunkter i C++ på den hårde måde, hvorefter han ved hjælp af 3D renderingsprogrammet Rhino kunne fremstille et 3D billede af formen:

I samarbejde med et CNC (Computer Numerically Controlled) fræserfirma har Jan fået fremstillet følgende udgave af adapteren i træ:

Her ses hele hornet bagfra, med adapteren monteret:

Og her ses hornet forfra med adapteren synlig inderst:

Her ses hornet med påsat kompressionsdriver:

Målet med højttalerdesignet er naturligvis, at højttaleren skal give et så naturligt lydbillede som muligt. Nærmere bestemt er det målet at få en regelmæssig frekvensgang, ikke bare når man sidder lige foran hornet, men også når man sidder i en vinkel på 30° eller 45° i forhold hertil ud til siderne, eller hvis man befinder sig 15° over eller under hornet. Udover en stor og regelmæssig spredning, er det ønskeligt med en lav harmonisk forvrængning og en god impulsformåen. Hornets akustiske egenskaber blev analyseret med Windows programmet CLIO. Resultatet kan ses nedenfor, hvor frekvensen i Hz vises på 1. aksen og lydstyrken i dB på 2. aksen.

Der blev anvendt en kompressionsdriver til omkring 4000 kr.. Den røde kurve er frekvensgangen ved 0°, hvor man sidder lige foran hornet, den blå kurve er frekvensgangen ved en vinkel på 30° til venstre eller højre for hornet, og den mørkegrønne kurve er frekvensgangen ved en vinkel på 45°. Den lysegrønne kurve er frekvensgangen ved 0° horisontalt, men ved en vinkel på 15° over eller under hornet. Endelig er den orange kurve en ekstra måling ved 0° og er i bedste fald identisk med den røde kurve. Der blev ikke anvendt equalizering. Det kan oplyses, hvad der ikke fremgår af illustrationen, at den 2. harmoniske forvrængning ved de viste lydtryk (105-110 dB) ligger under 0.5% ved alle frekvenser over 500 Hz, og at den 3. harmoniske under de samme betingelser ligger under 0.07%. Jan har sammenlignet det akustiske output fra sit eget horn med superellipse-design med frekvensgangen i et rigtig dyrt horn af et meget kendt højttalermærke, som jeg her lader unævnt, og han vurderer at hans horn er en forbedring!

CNC-fræsning er så dyrt, at de fleste vil opgive at bygge højttalere på denne måde, men med en omhyggelig matematisk modellering kan man bygge horn, der er lige så gode eller bedre end kommercielt tilgængelige horn, og så ligger der naturligvis en stor tilfredstillelse i at se på og lytte til sit eget arbejde, som Jan udtrykker det.

 

 

Superæg-flydere til bundgarn

En anden læser kontaktede mig vedrørende rumfanget af et superæg. Det fik mig til at gennemregne de formler, du ser ovenfor. Sagen var, at et firma ville fremstille flydere til bundgarn i form af superæg. Normalt benyttes en kugleform hertil. Af blandt andet æstetiske grunde ønskede man et andet design. Nedenfor et billede af en af de prototyper, jeg fik tilsendt!

 

 

Piet Hein

Piet Hein (1905 - 1996) studerede kunst i Stockholm samt filosofi, ingeniørvidenskab og atomfysik i København, dog uden at fuldende nogen af studierne.Han havde en enestående forestillingsevne og blev kendt i hele verden for sin opfindsomhed.

Hans superellipsebord og diverse andre produkter med superellipsedesignet kan stadig erhverves, som det ses på følgende asiatiske hjemmeside: www.aecasia.com/ASSAABLOY/funxion/profile.htm

 

Piet Hein opfandt også spillet Soma Kuben , som blev så populært, at Parker Brothers masseproducerede det i 1960'erne og i begyndelsen af 70'erne.

Han fik anerkendelser fra mange sider, heriblandt blev han æresdoktor på Yale University.

Han blev venner med mange berømtheder, heriblandt Albert Einstein, Charlie Chaplin og Niels Bohr. Albert Einstein nød de intellektuelle konversationer med Piet Hein. Hvad angår Niels Bohr, så konstruerede Piet Hein blandt andet en anordning, som tydeligt viste hvordan komplementaritetsprincippet skulle forstås, både af fagfolk og ikke-fagfolk. Lad os slutte af med et par af Piet Heins berømte gruks:

 


Gruks

Hvad du får går, Hvad du gir blir.

Den bedste kan
begå en bommert
men bli`r man ved
er man en dummert…

Når du lar dit ansvar ligge, tror du vist, du har det ikke.

Livet har mer
end tilstrækkelig længde,
til at folk
kan fortumle dets lille pointe.

At vide hvor man får besked er mere værd end det man ved.

Den kreative proces er kendetegnet ved at man først
kender spørgsmålet, når man har svaret.

Fantasi er kunsten at se hvad ikke er endnu

Husk at elske mens du tør det
Husk at leve mens du gør det

Husk at smile før du sover
så går dagens surhed over

 

 

Links

Superellipse and Superellipsoid
A Sliceform Superegg
The Official History of Soma

 

Litteratur

Martin Gardner. Mathematical Carnival. Penguin Books, 1990.