Nyheder

Lidt nyt igen. I efteråret udfærdigede jeg et dokument til at hjælpe elever og andre læsere med bedre at forstå matematikken i emnet mandatfordelinger, ikke mindst hvis man ønsker selv at skrive projekter i emnet.

  

                

 

For nyligt har jeg desuden skrevet en lille overordnet note om Kryptologi. Ikke noget med hardcore-matematik, men mere et dokument, som kan skabe lidt overblik over forskellige metoder fra monoalfabetiske kryptosystemer til polyalfabetiske kryptosystemer til Enigma og ikke mindst Public-Key kryptosystemer. Der en del hands-on og blandt andet en spændende opgave med at bryde et monokromatisk kryptosystem ved hjælp af frekvensanalyse - hvis man altså har adgang til Maple. Der er viodeoer, som beskriver krypterings og dekrypteringsprocedurer i forbindelse med Enigma via en Enigma-simulator. Public-Key kan ses som en interessant videreudvikling af de gamle kryptosystemer. Her behøves ikke udveksling af kodebøger. Public-Key besidder en meget vigtig og helt nødvendig egenskab i moderne kryptografi, som benyttes i stor stil på Internettet, online banker, smartphones, sms, etc. Noten kan også være et oplæg til diskussion om videnskabsteori og metoder. Noten ligger på min Enigma-side.

April 2025.

 

 

Geometri og trigonometri er tilbage!

Læreplanen er ændret for A og B niveau i matematik på stx fra sommer 2024. Det betyder, at blandt andet vektorregning er væk på B-niveau, og trigonometri er tilbage igen efter at være sat på pause siden 2017-reformen. Det var i starten med blandede følelser, at jeg så vektorer blive taget af bordet, for det er på mange måder et stof, som er meget anvendeligt, og emnet peger også fremad mod videregående uddannelser med matematik. Jeg er dog begyndt at anse ændringen som et gode. Vektorregning har vist sig svært og abstrakt for mange af nutidens elever, særligt på B-niveau, og så er det godt, at eleverne igen skal skal kunne regne med pythagoras samt sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter, da behovet ofte dukker op i andre fag, herunder fysik. Desuden er emnet geometri og trigonometri konkret og visuelt og har flere beviser med den helt rigtige sværhedsgrad. Jeg tror og håber, at det kan vække større begejstring end emnet vektorregning kunne. Jeg har udarbejdet en note til emnet, som endte med at blive lidt længere end først tilsigtet. Noten afsluttes med specielle X-opgaver med blandt andet anvendelser i landmåling, ovaler på Peterpladsen i Rom, smukke mønstre i islamisk kunst samt geometrien i spidsbuer og vinduer i gotiske kirker. Det har været ganske fornøjeligt at lave disse specielle opgaver, selv om det kun er ment som ekstrating, man eventuelt kan kaste sig over i små projekter. Ellers har jeg i den første del været inspireret af de gamle matematikbøger fra TRIP, som jeg anvendte i 90'erne. Her var emner som konstruktion med passer og lineal medtaget, og begreber som kongruens medvirkede til at forstå emnet. Hvornår er tre oplysninger nok til at fastlægge en trekant entydigt? Ellers består hovedteksten af de sædvanlige emner, og man kan vælge kun at gennemgå det mest nødvendige, hvis man vil. Der er indsat navigation i pdf-filen (indholdsfortegnelse via bogmærker), så man hurtigt kan komme rundt i noten.

Emnerne i min note Geometri og trigonometri:

En trekant og dens størrelser
Flere begreber i geometrien
Kongruens og ligedannethed
Grundlæggende regler
Vinkelsummen i en trekant
Ensvinklede trekanter
Konstruktion med passer, lineal og vinkelmåler
Centervinkler og periferivinkler
Pythagoras’ sætning
Trigonometri via retvinklede trekanter
Trigonometri via enhedscirklen
Vinkler i radianer
Cosinusrelationerne og sinusrelationerne
Opgaver
X-opgaver

 

Turings angreb på Vigenère chifferet

I 2012 blev to artikler, skrevet at Alan Turing under 2. verdenskrig, deklassificeret af den britiske efterretningstjeneste og frigivet til offentligheden: The Application of Probability to Cryptography og Paper on Statistics of Repetitions. Heri beskrives teorien bag processen Banburismus, der blev anvendt til at bryde den tyske flådes Enigma M3 (Marine Enigma) hurtigere, hvilket var nødvendig for at få efterretninger hurtigt frem. Jeg har udvidet min Enigma-side med et afsnit om Banburismus. Teorien bag er dog så kompliceret, at jeg afstår fra at komme med matematiske detaljer her. I den førstenævnte artikel har Turing imidlertid et andet afsnit, The Vigenère Cipher, hvori han beskriver en stærk metode til at løse Vigenère chifferet ved hjælp af statistik. Denne beskriver jeg i nøjere detalje. Argumenterne/udledningerne bygger i øvrigt på den smukke Bayes' formel!

 

På min Enigma side har jeg desuden tilføjet noget med tyske ubåde under 2. verdenskrig efter at have besøgt Laboe Naval Memorial udenfor Kiel i Tyskland denne sommer 2023. På stranden har de den autentiske ubåd U-995 fra krigen, som man som besøgende kan komme ind i. Klik på billedet herunder:

 

Mit forrige emne handlede om det gyldne snit, hvis historie på mange måder er fascinerende. Det starter helt tilbage hos de gamle grækere og deres eksakte behandling af matematikken. Det specielle matematiske forhold, som Euklid omtalte i sit berømte værk Elementerne, har en meget simpel definition, som gør det særligt tiltrækkende: Et linjestykke er delt i det gyldne snits forhold, såfremt det hele stykke forholder sig til det lange stykke, som det lange stykke til det korte stykke. Efter en lang tur igennem historien, som involverer matematik, fysik, metafysik, teologi, kunst og natur endte forholdet med at få betegnelsen det guddommelige forhold.

 

Det forrige emne handlede om retsgenetik, om hvordan man kan udregne sandsynligheder for bestemte allel-kombinationer i et DNA. Vi ser på realistiske beregninger, som bygger på anvendelse af Hardy-Weinberg-loven. Emnet er sammen med det forrige om Bayes formel, blevet brugt i SRP i matematik-biologi i gymnasiet.

 

Det forrige emne var Bayes' fantastiske formel, som handler om betingede sandsynligheder. Formlen kan bruges til at afdække den problematik, som ligger bag begrebet anklagerens fejlslutning, som har ført til flere fejldomme i blandt andet England og USA. Det viser sig, at man meget nemt kommer til at vende rundt på rækkefølgen af hændelser i nogle betingede sandsynligheder. Jeg har skrevet en længere note om emnet, også indeholdende mange andre overraskende anvendelser af Bayes' formel.



Opdateret 10. juli 2024.