 |
|
Tallet piPå denne side vil du finde væsentlige dele af historien om, hvordan man fik bestemt konstanten pi (p) med større og større præcision. Historien er lang og broget. Der var ikke altid tale om fremskridt. Undertiden anvendte man approksimationer for pi, som var mindre nøjagtige end tidligere anvendte, undertiden fordi den opnåede viden ikke blev udbredt på tværs af kulturer.
En definition og et symbol
Civilisationers opståenUdviklingen af civilisationer fandt først sted i områder, der var geografisk favorable: Ikke i nord, hvor der var lange kolde vintre, ej heller i troperne, hvor der ikke var det store behov for forbedringer p.g.a. masser af føde og nem adgang til byggematerialer, men derimod i et mellemliggende bælte, der strakte sig fra Middelhavet til Stillehavet i øst. Den første rigtige revolution fandt sted i de floddale i Mesopotanien (mellem floderne Eufrat og Tigris, overvejende nuværende Irak). Senere strakte bæltet sig gennem Persien og Indien til Kina. Stater blev dannet. Specialister kom til: Soldater, præster, administratorer, handelsfolk, håndværkere, lærere - og matematikere. I modsætning til tidligere tiders jægere, havde de nye samfund brug for landmålere, bygningsarbejdere, navigatører, "tidsmålere" (astronomi), bogholdere, planlæggere og skatteopkrævere... Det er ikke overraskende, at det var i et sådant samfund, at matematikken udviklede sig. Babylonerene, fra et område omkring det nuværende Irak, var blandt de første.
Pi i tidligere tiderI en del babylonske tekster fremgår det, at de benyttede værdien 3 for pi. Fra en lertavle fundet i 1936, omkring 300 km fra det gamle Babylon, fremgår det indirekte, at babylonerne også anvendte værdien 3,125 for pi. På tavlen står det anført, at forholdet mellem omkredsen af en regulær sekskant og omkredsen for den omskrevne cirkel er lig med 57/60 + 36/(60)2 - husk babylonerne benyttede hexagesimalsystemet, også kaldet 60-talsystemet. Denne påstand implicerer indirekte værdien 3,125 for pi!
Egypternes matematik kan vi sige en hel del om, fordi man allerede på et tidligt tidspunkt blev i stand til at oversætte de ægyptiske hieroglyffer til noget forståeligt. Det ældste kendte og eksisterende matematiske dokument, Papyrus Rhind, fra omkring 1650 f.Kr. kan beses i British Museum i London. Dokumentet er en kopi af et tidligere skrift og kopieringen er foretaget af en person ved navn Ahmes. Dokumentet indeholder 84 problemer med løsninger. I problem nummer 50 antager Ahmes, at arealet af en cirkulær mark med diameter 9 (enheder) er det samme som arealet af et kvadrat med siden 8 (enheder). Dette betyder, at man indirekte har benyttet følgende værdi for pi: 4´(8/9)2 = 3,16049.
Papyrus Rhind
Hvis vi går mod øst i det tidligere omtalte bælte, kommer vi til Indien. Som babylonerne og ægypterne, kendte de også Pythagoras læresætning længe før Pythagoras blev født. Der er ikke bevaret mange skrifter, der endegyldigt kan godtgøre, at den hinduistiske matematik også var på et højt stade. Alligevel tyder meget på, at det har været tilfældet. Den hinduistiske astronomi har formentligt været på et avanceret niveau. Det først bevarede dokument er Siddhantas (ordet er Sanskrit og kan oversættes med "konklusion" eller "løsning") fra omkring 400 e.Kr. De beskrevne teorier heri er formentligt af langt tidligere dato. I dokumentet anvendes værdien 3 + 177/1250 = 3,1416 for pi. Hindu matematikeren Brahmagupta (født 598 e.Kr.) anvendte følgende værdi for tallet pi:
Lad os bevæge os endnu mere mod øst til Kina. Her blev værdien 3 for pi brugt i adskillige århundreder. I 130 e.Kr. anvendte Hou Han Shu værdien 3,1622. I modsætning til babylonerne, som anvendte 60-talsystemet, brugte kineserne fra begyndelsen decimaltalsystemet. Liu Hui benyttede en variation af Archimedes' metode med at indskrive polygoner i en cirkel (se senere) for at bestemme cirklens areal, nærmere bestemt ved at indskrive en polygon med 192 sider. Hermed viste han indirekte at 3,141024 < p < 3,142704. "Indirekte", fordi ligesom de øvrige gamle kinesere, tænkte Liu ikke på at bestemme en bestemt konstant (pi). Senere indskrev han en polygon med 3072 sider og fandt indirekte følgende værdi for pi: 3,14159. I det 5. århundrede regnede Tsu Ch'ung Chi og hans søn Tsu Keng Chi sig frem til 3,1415926 < p <3,1415927, en nøjagtighed, som først blev nået i Europa i 1500-tallet. En forklaring herpå skal nok søges i den omstændighed, at kineserne anvendte 10-talsystemet så tidligt som de gjorde. En kinesisk bog fra 1635, Celiang quanyi, indeholder en fuldstændig oversættelse af Archimedes' afhandling om "Cirklens udmåling" samt flere andre klassiske værker. Heri gives også (uden bevis) følgende fine vurdering af pi: 3,14159265358979323846 < p < 3,14159265358979323847
"Celiang quanyi", en bog fra 1635,
som blandt andet indeholder
GrækerneOmkring 500 f.Kr. er der sporadiske tegn på, at grækere har været
optaget af at regne på cirklen. Anaxagoras fra Clazomenae
(500 f.Kr. - 428 f.Kr.) forsøgte i fængslet at kvadrere cirklen.
Det er første gang dette problem bliver nævnt og det er som bekendt
snævert forbundet med pi, idet man skal konstruere et kvadrat med
samme areal som en cirkel, hvilket kan reduceres til problemet med
at konstruere tallet pi!
Du kan finde stof herom i [Heath1] og [Lützen] i litteraturlisten nedenfor. En anden tilnærmelse med polygoner, som nok er mere hensigtsmæssig i dag kan du finde i [Svendsen]. Vi skal følge Archimedes' egen idé, men selvfølgelig forklare skridtene med moderne symbolik. Han startede reelt med at tilnærme cirklen med en omskreven regulær sekskant samt en indskreven regulær sekskant. Herefter foretog han en rekursiv procedure, hvori han i hvert skridt fordoblede sidetallet i den omskrevne og indskrevne polygon, indtil han var kommet til polygoner med 96 sider! Da udledningerne er ret involverede og fylder en del, vil jeg foretage dem på en selvstændig side. Klik på knappen for detaljer!
Ifølge en tekst af Heron foretog Archimedes en endnu bedre tilnærmelse til pi, men i dette materiale, der er på græsk, må der være en fejl eftersom de angivne grænser er dårligere end ovenstående. Desværre står det derfor hen i det uvisse, hvor god denne anden vurdering af pi egentlig var! Man kan kun spekulere sig til, hvad der skulle have stået...
Europa vågnerEuropa var i starten langt efter de islamiske lande hvad angår naturvidenskab og forsøg på beregning af p. Det første årtusinde efter Kristi fødsel var en mørk tid med krige og religiøse konflikter. Det romerske imperium blev brudt ned og kristendommen skød op. Viden sivede via inderne og araberne ind i Europa. Dette skete blandt andet ved Toledo i Sydspanien, hvor den spanske konge Alfonso VI af Castilien indtog byen, som indeholdt et enormt bibliotek. Bøger på arabisk blev oversat til latin, så de kunne læses i Europa. I begyndelsen af det 12. århundrede oversatte den engelske præst Adelard af Bath berømte værker som Euklids elementer og Ptolemæus' Almagest til latin under hans ophold i Cordoba i Spanien. Han oversatte også Al'khwarizmi's arbejder, der introducerede arabiske tal og notation i Europa. Leonardo af Pisa (også kaldet Fibonacci) var en af foregangsmændene for at udbrede matematikken til Europa og i en alder af 32 år skrev han i 1202 sin berømte bog Liber Abbaci. I 1220 approksimerede Fibonacci pi med blandt andet tallet 864/275 (omkring 3.1418). Her er det værd at bemærke, at informationen om Tsu Ch'ung-chih's avancerede og meget mere præcise beregning af pi Kina otte hundrede år tidligere stadig ikke var nået til Europa! I det hele taget foregik der i denne periode en del beregninger af pi, som ikke var så præcise som tidligere græske, kinesiske og indiske approksimationer. Vi skal helt frem til det 16. århundrede før der sker afgørende nyt...
Uendelige rækker og produkter
der altså blev udledt på baggrund af tilnærmelsen af cirklen med polygoner. Du kan for eksempel se udledningen i [Svendsen] nedenfor. Uheldigvis er formlen ikke særligt velegnet til at beregne pi med mange decimaler, fordi konvergensen foregår meget langsom, dvs. der skal rigtig mange led til, for bare at opnå nogle få rigtige decimaler for pi. Men alene den omstændighed, at man kunne udtrykke pi via en sådan formel var et stort gennembrud og var startfløjtet til andre forsøg i lignende retning. Før vi går videre med at betragte formler for pi, skal det lige nævnes, at hollænderen Ludolf van Ceulen (1540 - 1610) igen anvendte Archimedes' metode og fik pi med 35 decimalers nøjagtighed ved en ren kraftanstrengelse: Tilnærmelse af cirklen med polygoner med over 32 milliarder sider (60 gange 229). Efterhånden begyndte man at blive mere interesseret i at finde nye metoder fremfor at foretage endeløse beregninger over gammelkendte metoder. Willebrod Snell (1580 - 1626) og Christiaan Huygens (1629 - 1695) videreudviklede metoden med tilnærmelse med polygoner, så der kom flere korrekte cifre i pi for det samme antal sider i polygonerne.
Desværre er Leibniz' række, ligesom Wallis' produkt, ikke velegnet til beregning af pi, da konvergensen foregår meget langsomt. Der skal for eksempel 300 led til at give blot to decimaler i pi! Men jagten på bedre formler var gået ind....Et eksempel på, at det nu mere var smarte formler og ikke en stor udholdenhed i næsten endeløse beregninger, der var sagen, er Isaac Newton. Også han fornøjede sig lidt med pi og i en korrespondance nævner han blandt andet: Jeg skammer mig over at fortælle hvor mange cifre jeg beregnede....havde ikke andet at tage mig til. Newton havde her benyttet følgende formel til at bestemme pi med 15 decimaler:
I 1699 beregnede englænderen Abraham Sharp 72 cifre i pi ved hjælp af Gregorys række med x = kvadratroden af 1/3, idet arctan til dette tal er lig med p/6. Konvergensen er her meget bedre end i tilfældet med Leibniz, idet leddene i rækken meget hurtigere aftager. I 1706 benyttede John Machin nedenstående formel samt Gregory's række til at beregne pi med 100 decimaler:
Endnu en af de store matematikere kastede sig over pi: Leonard Euler (1707 - 1783), der er en af historiens mest produktive matematikere, trods det faktum, at han blev blind på det ene øje da han var 30 år gammel og mistede synet helt i en alder af 65 år!Han fandt en mængde formler for pi, blandt andet en, som konvergerer væsentligt hurtigere end Gregorys, og som han benyttede til at beregne pi med 20 decimaler på 1 time! Nedenfor Eulers formler for pi.
I 1800-tallet blev rekorden slået gang på gang, ofte af temmelig ukendte matematikere. Lad mig bare nævne nogle få. William Rutherford beregnede 208 decimaler i 1841 ved at bruge formlen
Ja, vi kan endda nævne danskeren Thomas Clausen (1801 - 1885), der i 1847 beregnede 248 decimaler af pi ved at bruge både Machins formel og en formel af Euler. William Shanks beregnede i 1873 i alt 707 decimaler af pi. Desværre var kun de første 527 decimaler rigtige! Det tog dog noget tid før man fandt fejlen.... Også i Asien var der aktivitet. Tseng Chi-hung, som var den yngste søn af den berømte statsmand Tseng Kuo-fan, der ledede den kejserlige hær under Taiping-opstanden, havde åbenbart større interesse for matematik end for krig, for han beregnede i 1874 i alt 100 decimaler af pi ved at anvende Gregorys række og formlen
Ramanujans indsigt
De må være sande, fordi hvis de ikke var det, ville ingen være i stand til at opfinde dem. Senere opstillede Hardy en "ren talent-skala" for matematikere. Her vurderede Hardy Ramanujan til 100, Littlewood til 30 og sig selv til 25. Den mest indflydelsesrige tyske matemematiker på den tid, David Hilbert, vurderede han til 80! Hardy inviterede straks Ramanujan til Cambridge. På trods af sin mors stærke betænkeligheder og sin egen tvivl, tog Ramanujan til England marts 1914. Her arbejdede han sammen med de to englændere i 5 år på Trinity College. Samarbejdet blev uhyre frugtbart, idet man kunne forene Hardys ekspertise og systematik med Ramanujans intuition. De fik skrevet en række artikler, hvori de blandt andet fik lagt grundlaget for spørgsmål såsom: Hvor mange primtalsdivisorer kan man regne med, at et givet tal har?, på hvor mange måder kan man udtrykke et tal som en sum af mindre, positive tal? Desværre blev Ramanujans helbred dårligere og dårligere, måske delvist forårsaget af, at han på grund af krigs-rationeringerne havde svært ved at holde sin vegetariske diæt! I 1919, da det igen var blevet sikkert at rejse, tog han tilbage til Indien. På trods af sygdom arbejdede han videre på sin såkaldte "Notesbog". Den 26. april 1920 døde han af hvad der dengang blev diagnostiseret som tuberkulose, men som man nu mener skyldes vitaminmangel... I sine kun 32 leveår havde Ramanujan formået at blive en legende indenfor matematikken... Ramanujan besad en næsten overnaturlig intuition for tal, og det fortælles, at han havde et forhold til ethvert tal! Som et eksempel herpå kan nævnes en gang, hvor Hardy besøgte Ramanujan på hospitalet. Hardy, der altid var lidt kejtet, når han skulle indlede en samtale, udbrød som noget af det første: ”Jeg tror nummeret på min taxi var 1729. Det forekommer mig at være et temmelig kedeligt tal!”. Til hvilket Ramanujan svarede: ”Nej Hardy, Nej Hardy, det er et meget interessant tal. Det er det mindste tal, som på to måder kan skrives som en sum af to kubiktal”.
Lad mig slutte af med at nævne en af Ramanujans helt fantastiske formler, indeholdende pi:
Men som sagt gav Ramanujan ikke selv beviser for sine formler og sætninger. For som Littlewood en gang sagde om Ramanujan: "If a significant piece of reasoning occurred somewhere, and the total mixture of evidence and intuition gave him certainty, he looked no further". Det kæmpe arbejde med at bevise dette indiske genis resultater startede for 60 år siden af britten G. N. Watson og B. N. Wilson og afsluttes nu af Bruce Berndt. Mange af Ramanujans formler kommer fra studiet af modulære ligninger.
Computerne tager over
Nye effektive algoritmerI 1976 publicerede Eugene Salamin en artikel i tidsskriftet Mathematics of Computation, hvor han demonstrede en algoritme, som konvergerer kvadratisk mod pi. Hermed menes, at antallet af korrekte cifre fordobles efter hvert trin i iterationen. Richard P. Brent opdagede også denne formel, uafhængigt af Salamin. Sjovt nok ligner algoritmen meget en, som var blevet opdaget af den store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) mere end 100 år tidligere. Forskellen i forhold til Gauss tid var, at dengang havde man blot ikke computerens regnekapacitet til at udnytte algoritmen! Den nye algoritme, betegnet Gauss-Brent-Salamin-algoritmen, kan beskrives på følgende måde:
startende med værdierne:
Altså en rekursiv procedure, hvor man arbejder sig frem led for led for n = 0, 1, 2, ... Det viser sig, at pn konvergerer kvadratisk mod pi. Antallet af korrekte cifre udvikler sig således, når n vokser: 1, 4, 9, 42, 85, 173, 347, 697, ... I alt 25 iterationer er tilstrækkelig til at få pi med over 45 millioner decimaler!! Imidlertid må man i disse iterationer arbejde med mindst lige så stor præcision, som den præcision, man ønsker pi leveret med. Det betyder selvfølgelig et overordentligt stort arbejde i hver iteration. Man ser, at man skal beregne kvadratrødder af tal med overordentligt mange cifre. Hvis man vælger en smart metode kan disse udføres med en "omkostning", som kun er ca. tre gange så stor som arbejdet ved at multiplicere to tal. Med kombinationen af super kraftige computere og Gauss-Brent-Salamin-algoritmen nåede pi-beregningerne nye højder: I 1982 kunne Yoshiaki Tamura fra Tokio Universitet beregne pi med 8.388.608 (=223) decimaler. Ved at bruge Salamins algoritme på en Hitachi M-280H, tog beregningerne under 7 timer. I 1985 benyttede Gosper direkte en af Ramanujans formler (den angivet under afsnittet med Ramanujan ovenfor) til at bestemme pi med 17 millioner decimaler. Hver gang man adderer et led i denne række, får man 8 nye korrekte decimaler! Selv om rækken konvergerer meget hurtigere end de gammelkendte rækker, så har metoden den ulempe, at hvis man vil have dobbelt så mange decimaler, så må man beregne dobbelt så mange led. I 1985 opdagede brødrene Jonathan Borwein og Peter Borwein nogle flere algoritmer af lignende type som Salamin. Som eksempel kan nævnes en algoritme, som konvergerer "firdobbelt", dvs. for hver iteration vil der blive mindst fire gange så mange korrekte cifre i pi. Den ser ud som følgende:
hvor startværdierne er givet ved:
Da vil 1/an konvergere mod pi. Det skal dog nævnes, at disse højere ordens algoritmer ikke nødvendigvis er hurtigere end Gauss-Brent-Salamin-algoritmen, eftersom hver iteration i disse højere ordens algoritmer koster mere tid at udføre! Denne algoritme sammen med Gauss-Brent-Salamin-algoritmen blev blandt andet anvendt af japaneren Yasumasa Kanada i nogle af dennes rekordberegninger. For brødrene Borwein, der fandt nye iterative algoritmer af forskellige ordner, var det en stor hjælp at kigge i Ramanujans gamle såkaldte "Notesbøger", idet det viste sig, at de iterative algoritmer var snævert forbundet med Ramanujans modulære ligninger. En meget væsentlig forudsætning for at få hurtige kørselstider er, at man anvender nogle hurtige metoder til at gange store tal sammen på. Heldigvis opdagede man allerede i 1965 den såkaldte FFT, som står for Fast Fourier Transform. En hurtig måde at udregne den såkaldte Fourier Transformation på. Ved en snedig "oversættelse" viser det sig, at den kan benyttes ved multiplikation af tal og effektivisere arbejdet. Under normale omstændigheder må man antage, at man skal anvende 4 gange så meget arbejde for at multiplicere to tal, som er dobbelt så lange, altså såfremt man benytter "skolemetoden". Under anvendelse af FFT metoder kan man komme ned på et arbejde, som kun er lidt mere end dobbelt så stort! Siden midten af 80'erne har brødrene Chudnovsky og japaneren Kanada skiftes til at sætte rekorder. Du kan læse mere om førstnævnte brødre nedenfor. Til beregning af ca. 4 mia. decimaler i 1994 benyttede brødrene følgende Ramanujan-lignende formel:
Denne formel giver mindst 14 extra korrekte cifre for hvert ekstra led, der medtages!
Chudnovsky brødrene
Chudnovsky brødrene blev født i det tidligere Sovjetunionen, nær ved Kiev, kort efter anden verdenskrig. Deres forældre, der var videnskabsfolk og intellektuelle, introducerede deres børn til matematik i en tidlig alder. Begge brødre nød at beskæftige sig med matematik, men det viste sig, at især Gregory, fem år yngre end David, havde et specielt talent på området. Opmuntret af sine forældre publicerede han sin første matematiske artikel i en alder af 16 år. Som 17-årig, da han var gymnasieelev, gjorde han sin første store opdagelse, idet han løste Hilberts tiende problem, formuleret i år 1900 af den berømte tyske matematiker David Hilbert som et af flere vigtige problemer, som matematikerne skulle søge at løse. Sært nok havde en anden ung russisk matematiker, Yuri Matyasevich, uafhængigt heraf også lige løst problemet. Sidstnævnte har siden udtalt, at Chudnovskys metode er den foretrukne metode til at bevise Hilberts 10. problem. Senere studerede begge brødre matematik og bestod Ph.D. på det Ukrainske Videnskabers Akademi. Desværre fik Gregory konstateret en muskelsygdom, og blev snart så svækket, at han ofte måtte ligge i sengen. I 1976 blev sygdommen så slem, at deres forældre gjorde forsøg på at søge om lov til at forlade Sovjetunionen for at Gregory kunne komme i behandling. Myndighederne modarbejdede i stor stil og forældrene blev endda fysisk forulempet af KGB. Heldigvis spredtes rygtet om Gregorys sygdom sig til matematiske kredse m.m. og det udøvede pres betød til sidst, at familien fik tilladelse til at forlade landet. Også den berømte systemkritiker Andrei Sakharov havde hjulpet til med at gøre opmærksom på Chudnovskys desperate situation. Brødrene emigrerede først til Paris og siden til USA. Her slog de sig ned i New York tæt på Columbia University. I 1987 havde japaneren Yasumasa Kanada beregnet 200 millioner decimaler af pi. Chudnovsky brødrene, der ikke tidligere havde annonceret en interesse i at beregne pi, meldte sig pludseligt på banen, idet de satte en ny rekord på 480 millioner decimaler, beregnet på to supercomputere et sted i USA. Kanada blev lidt overrasket over at møde konkurrence i det amerikanske cyberspace, og på en Hitachi supercomputer slog hans team påny rekorden, nu på 536 millioner decimaler. Brødrene fortsatte og nåede snart den magiske milliard decimaler. Et antal decimaler, som skrevet med sædvanlig størrelse ville kunne nå fra New York til midt i staten Kansas! De to lejre skiftedes herefter til at tage føringen. Hidtil havde brødrene foretaget beregningerne på en Cray 2 på Minnesotas Supercomputer Center og en IBM 3090-VF på IBM Thomas J. Watsons Research Center i New York. Brødrene kunne kun få computertid i små bidder, oftest under ferier og midt om natten. Endvidere måtte de betale 750$ i timen, og pengene kom fra National Science Foundation. Efterhånden indså brødrene, at det ville være både billigere og meget mere bekvemt, hvis de byggede deres egen supercomputer. Det skete så, og computeren fik kælenavnet "m zero". Der var tale om en multiprocesser computer, som kunne opnå en fantastisk hastighed med mange milliarder operationer i sekundet. I Gregorys lejlighed i et fattigt "run-down område" af West Manhattan, fyldte deres computer det meste af pladsen, forbundet fra rum til rum. Når computeren arbejdede kunne temperaturen i lejligheden stige til over 32 graders Celsius og til endnu mere om sommeren! Brødrene satte sig ind i selv de mindste hardware mæssige detaljer, såsom hvordan man nemmest får gammeldags software sprog til at køre på parallelprocessorer med høj effektivitet, hvordan man reducerer temperaturen i logikkredsene, etc. Også på matematiksiden var brødrene i front. Gregory vidste ting om Hypergeometriske funktioner, som ingen andre forstod. Allerede i 1981 havde Gregory modtaget en "geni-pris"(MacArthur Foundation fellowship in mathematics). Der var tale om et væsentligt økonomisk stipendium over flere år. Den var kærkommen, for brødrene havde altid haft mange undskyldninger for at undgå et sædvanligt arbejde...de følte sig allerbedst tilpas med deres komplicerede opgaver og computere. En del af pengene blev selvfølgelig benyttet til opgradering af computerne. Brødrenes koner klarede sig i øvrigt fint: Gregorys kone, Christine Pardo Chudnovsky, var advokat med et advokatfirma i midtbyen og Davids kone, Nicole Lannegrace, var ansat under FN. Deres løn hjalp også med til at finansiere supercomputeren i Gregorys og Christines lejlighed. Under arbejdet måtte Gregory på grund af sin sygdom ofte arbejde fra sengen! I lejligheden var vægge og de franske døre dækket af kladdepapir med diagrammer af elektroniske kredsløb. På begge sider af gangen var der linet reoler op, som indeholdt stabler af papir og bøger, så der kun var en smal passage på 60-70 cm. Det var også lykkedes brødrene at få plads til en masse tomme papkasser, en masse bøger (russiske klassikere med Cyrilliske bogstaver på ryggen), skruetrækkere, bånd til at opbevare data på samt software manualer etc...Her arbejdede brødrene med det de allerbedst kunne lide... Brødrenes tilknytning til Columbia University havde hele tiden været uformel, trods det, at der var blevet gjort flere forsøg på at sikre de to en stilling på universitetet. Efter at brødrenes historie blev beskrevet i en lang artikel i avisenThe New Yorker den 2. marts 1992, tog Jeffrey H. Lynford, som var formand for Wilsford Real Properties, initiativ til at samle nogle forretningsfolk, politiske ledere og ledere indenfor undervisningssektoren for at sørge for en platform, hvorfra brødrene kunne fortsætte deres forskning og måske også tiltrække studerende til studier i dette "multi-disciplin-område" mellem matematik, teorier indenfor svagstrøm, grafteori m.m. Projektet lykkedes, og i skrivende stund (oktober 2002), er de to brødre ansat på Polytechnic University, Brooklyn, New York, som "Distinguised Industry Professors. Brødrene vil blive husket for deres store bidrag til historien om pi....
Enkeltstående hexadecimaler i PiI 1996 var det noget af en sensation, at tre forskere kunne bekendtgøre, at det er muligt at bestemme enkeltstående cifre i pi, uden først at skulle bestemme alle de forrige. Forskerne var amerikanerne David Bailey, Peter Borwein og Simon Plouffe. Deres resultat angår ganske vist kun pi opskrevet i 16-talsystemet. Midlet til at bestemme enkelte hexadecimaler, som cifrene i dette talsystem kaldes, var følgende formel:
Hvorledes denne formel kan bruges til det pågældende formål er en længere forklaring, som du kan finde i noten "Enkeltstående haxadecimaler i Pi", som du kan downloade nedenfor. Det er en interessant kendsgerning, at denne formel ikke er blevet fundet af en person, men af en computer. Ved hjælp af en genial algoritme, LLL-algoritmen (Lenstra-Lenstra-Lovacs-algoritmen), kan man nemlig sætte en computer til at søge efter lineære heltalsrelationer mellem hele tal! Problemet er ofte at finde formlerne, og da det var lykkedes i ovenstående tilfælde, viste det sig, at det var en smal sag at bevise dens rigtighed på god gammeldags facon....
To noterNedenfor link til to noter om pi, som du kan downloade. Emnet er at beregne decimaler i pi. For noten "Tallet Pi"s vedkommende er målgruppen gymnasieelever på matematisk linje. Det er tænkt som en note, hvor læreren eventuelt kan gennemgå lidt af det første stof, og hvor eleverne siden selv kan arbejde sig gennem noten ved at besvare nogle øvelser. Niveauet svarer til slutningen af 1g eller 2g. Den anden note "Enkeltstående hexadecimaler i pi" kræver nok en rigtig dygtig elev, og den handler om, hvordan man for nyligt fandt ud af, at det er muligt at bestemme enkeltstående hexadecimaler i pi, uden først at skulle bestemme alle de foregående.God fornøjelse! For hjælp til at downloade klik her. For information om pdf format og brug af Adobe Reader klik her.
Pi KronologiNedenfor en kronologi over pi-beregninger igennem tiderne. Ikke alle rekordberegninger er medtaget, dels på grund af manglende viden om tidligere tiders pi-beregninger, dels fordi ikke alle var lige skelsættende. Jeg har tyndet lidt ud i resultaterne fra de seneste år, da rekorden ustandselig er blevet slået.Jeg har dog medtaget alle de væsentligste! Se også Mac Tutor. |
|
||
|
Hvem? |
Hvornår? |
Pi/Antal decimaler |
|
Babylonerne |
ca. 2000 f.Kr. |
pi = 3 + 1/8 |
|
Ægypterne |
ca. 2000 f. Kr. |
pi = 3,16045 |
|
Kina |
ca. 1100 f. Kr. |
pi = 3 |
|
Archimedes |
3. årh. f. Kr. |
pi = 3,1418 (gennemsnit) |
|
Claudius Ptolemæus |
2. årh. e. Kr. |
pi = 3,14166... |
|
Wang Fau |
3. årh. e. Kr. |
pi = 142/45 = 3,1555... |
|
Liu Hui |
263 |
pi = 157/50 = 3,14 |
|
Tsu Ch'ung-chih |
5. årh. e. Kr. |
pi = 355/113 |
|
Brahmagupta |
ca. år 650 |
pi = kvrod(10) = 3,1622.... |
|
Al-Khwarizmi |
ca. år 800 |
pi = 3,1416 |
|
Fibonacci (Leonardo af Pisa) |
1220 |
pi = 3,141818... |
|
Al-Kashi |
ca. 1430 |
14 |
|
Francois Viéte |
1593 |
9 |
|
Adriaen Romanus |
1593 |
32 |
|
Lodolph Van Ceulen |
1596 |
20 |
|
Lodolph Van Ceulen |
1610 |
35 |
|
Isaac Newton |
1665-66 |
16 |
|
Abraham Sharp |
1699 |
72 |
|
Machin |
1706 |
100 |
|
Thomas Fantet de Lagny |
1719 |
127 (112 korrekte) |
|
Takebe Kenko |
1722 |
40 |
|
Georg Vega |
1794 |
140 (kun136 korrekte) |
|
L. K. Schulz von Stassnitzky, Johann Dase |
1844 |
200 |
|
Thomas Clausen |
1847 |
248 |
|
William Shanks |
1873-74 |
707 (527 korrekte) |
|
D. F. Ferguson |
1945 |
Finder Shanks fejl |
|
D. F. Ferguson og Wrench |
1947 |
808 |
|
Reitwiesner m.fl. (på ENIAC) |
1949 |
2037 |
|
Genuys |
1958 |
10.000 |
|
Daniel Shanks og John Wrench |
1961 |
100.265 |
|
Jean Guilloud, M. Bouyer |
1973 |
1.001.250 |
|
Y. Tamura |
1982 |
2.097.144 |
|
Y. Tamura, Y. Kanada |
1982 |
4.194.288 |
|
Y. Tamura, Y. Kanada, Yoshino |
1983 |
16.777.206 |
|
Gosper |
1985 |
17.526.200 |
|
Bailey |
1986 |
29.360.111 |
|
Y. Tamura, Y. Kanada |
1986 |
33.554.414 |
|
Y. Tamura, Y. Kanada |
1988 |
201.326.551 |
|
Chudnovsky brødrene |
1989 |
480.000.000 |
|
Y. Tamura, Y. Kanada |
1989 |
536.870.898 |
|
Chudnovsky brødrene |
1989 |
1.011.196.691 |
|
Chudnovsky brødrene |
1994 |
4.044.000.000 |
|
Takahashi, Kanada |
1995 |
6.442.450.938 |
|
Takahashi, Kanada |
1997 |
51.539.600.000 |
|
Takahashi, Kanada |
1999 |
206.158.430.000 |
Links
Litteratur
|
|
|
Tallet pi (π) vil vi i dag definere
som forholdet mellem omkredsen og diameteren i en vilkårlig cirkel.
At dette forhold er det samme uanset cirklens størrelse fremgår
af, at omkredsen og diameteren er proportionale størrelser.
Dette forhold i cirklen har naturligvis været af praktisk interesse
lige så længe civilisationer af en vis udviklingsgrad har eksisteret.
Den første fremkomst af et selvstændigt symbol for dette forhold
hændte langt senere. Første gang det nuværende symbol p
blev benyttet for det pågældende forhold er i 1706 af englænderen
William Jones. Det slog ikke straks an i matematikerkredse,
men efterhånden begyndte store matematikere som Euler, Goldbach
og Nikolaus Bernoulli konsekvent at bruge symbolet p.
Op gennem 1700-tallet fulgte en række matematikere efter. Men lang
tid før dette forhold mellem en cirkels omkreds og dets diameter
fik et specielt symbol knyttet til sig, blev det søgt bestemt med
så stor præcision som muligt. Det skal vi se på i det følgende.
Vi
har betragtet kulturer i bæltet fra det nuværende Mellemøsten til
Kina i øst. Men også hos Mayafolket i Amerika ved vi, at der
var en højtudviklet kultur. Desværre ved vi ikke meget om
deres beregninger på pi og cirklen. Imidlertid vidner Mayaernes
brug af et positionssystem (20-talsystemet) om deres imponerende
højtudviklede astronomiske viden, at de også må have foretaget beregninger
over pi, direkte eller indirekte. 
Archimedes
(287 f.Kr. - 212 f.Kr.)
regnes for at være den største matematiker fra oldtiden, og han
var vel den første til at give en egentlig overbevisende udledning
af en vurdering af pi. Udover at levere store bidrag til matematikken, gjorde han
også meget betydningsfulde opfindelser. Den største af hans opfindelser
gjorde han under den i anden puniske krig. Her konstruerede
han sindrige krigsmaskiner, der holdt de romerske belejringstropper
i skak i lang tid. I det følgende skal vi se hvordan han kom frem
til hans vurdering af pi, som lyder:
Den
franske advokat og amatørmatematiker Francois Viète (1540-1603) anvendte i 1579 endnu engang Archimedes' metode med at tilnærme
cirklens omkreds med omkredsen af nogle approksimerende indskrevne
og omskrevne polygoner til at give en tilnærmet værdi for pi. På
den måde viste han, at pi ligger mellem 3,1415926535 og 3,1415926537.
For at opnå dette resultat foretog han 16 gange en fordobling af
antallet af sider i polygonerne, startende med sekskanter. Han arbejdede
altså med polygoner med 393216 sider! Franskmandens rigtige store
fortjeneste var dog, at man var i stand til at udtrykke pi i en
formel med et uendeligt produkt:
Englænderen
John Wallis (1616 - 1703), der var matematiker og kryptolog,
kom med et vigtigt bidrag, da han tilnærmede arealet af en kvartcirkel
med uendeligt mange små trekanter. I 1655 kunne han opstille sin
berømte formel for pi:
Efterhånden
begyndte man at bruge den netop nyudviklede differential-
og integralregning til at komme videre med pi... Et rigtigt
gennembrud kom, da James Gregory (1638 - 1675) fandt en elegant
rækkeudvikling for arcus tangens:
Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), som sammen med Newton var grundlæggeren
af infinitesimalregningen, fandt tre år efter Gregory, og uafhængigt
deraf, den samme række for arctan, og han publicerede den sammen
med et vigtigt specialtilfælde: Ved at indsætte 1 i formlen og bemærke,
at arctan(1) = p/4, fås følgende vigtige
række: 
En
af de mest mystiske matematikere igennem tiderne er den indiske
matematiker Srinivasa Ramanujan (1887 - 1920), der syntes
at have haft en næsten guddommelig intuition for tal. Ramanujan har efterladt
sig et væld af matematiske formler uden bevis. Hvordan han er nået
frem til dem står derfor som oftest hen i det uvisse. Ramanujan blev født af
nogle relativt fattige forældre af Brahmin kasten i en landsby i
det sydlige Indien. Han viste tidligt et ekstraordinært talent for
matematik. Da han var 12 år gammel mestrede han indholdet af S.
L. Loney's omfattende bog, Plane Trigonometry, der blandt
andet indeholdt diskussion af uendelige summer og produkter -
et emne, der senere skulle spille en stor rolle i Ramanujans
arbejder. Tre år senere lånte han Synopsis of Elementary Results
in Pure Mathematics, indeholdende en liste med omkring 6000
sætninger, hvoraf de fleste blev postuleret uden bevis! Bogens stil
med udeladte beviser kan have påvirket Ramanujan til selv at udelade
forklaringerne på sine senere opdagelser. En kendsgering, som
senere har fået matematikere til i årevis at prøve at finde frem
til forklaringer på de fantastiske sætninger og ligninger, som Ramanujan
synes at have haft en helt speciel indsigt til at kunne se.... I
1903 blev Ramanujan optaget på et lokalt College, men hans totale
fordybelse i sine matematiske tanker gjorde, at han dumpede til
eksamen. I 1909 blev han gift. Heldigvis var han blevet "opdaget"
af nogle indiske matematikere, og på anbefaling af disse forærede
R. Ramachandra Rao, en forholdsvis velhavende matematiker, i 1910
Ramanujan et stipendium. Senere, i 1912, ønskede Ramanujan mere
almindeligt arbejde, og det lykkedes ham at få arbejde på havnen
i Madras. Her var formanden en britisk ingeniør og direktøren grundlæggeren
af "The Indian Mathematical Society". Disse to personer
opfordrede Ramanujan til at sende sine resultater til tre prominente
britiske matematikere. To af dem svarede slet ikke. Det gjorde derimod
G. H. Hardy, der nu vurderes som den største britiske matematiker
på den tid. Hardy var vant til at modtage breve fra alle mulige
amatør-matematikere, som troede de havde gjort store opdagelser.
Men efter at Hardy og hans nære kollega, John E. Littlewood,
efter frokosten den 16. januar 1913 satte sig ned for at se på listen
af 120 formler og sætninger, som Ramanujan havde tilføjet i sit
brev, blev deres opmærksom vakt... Efter nogle timer var de nået
til en konklusion: De havde at gøre med et geni og ikke en skør
amatør-matematiker. Nogle af Ramanujans formler havde fuldstændigt
taget pusten fra Hardy, og som han selv udtrykte om formlerne:
William
Shanks rekord fra 1873 stod helt indtil 1945, hvor D. F.
Ferguson med pen og papir beregnede 530 korrekte cifre af
pi - en præstation, der tog ham et helt år! I 1947 var samme Ferguson
i stand til at beregne 808 cifre af pi, nu ved hjælp af en tidlig
udgave af en regnemaskine - med mekaniske gear. Smith og
Wrench, som kontrollerede cifrene hos Ferguson, fortsatte
selv og beregnede i 1948 det 1000. ciffer af pi. I 1949 skete der
en væsentlig fremskridt, idet man kunne tage en ny maskine i brug,
den berømte ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer).
Ved hjælp af denne maskine med dens hundreder af resistorer og kapacitorer,
blev George Reitwiesner, John von Neumann og N.
C. Metropolis i stand til at bestemme 2037 cifre af
pi. Denne beregning tog kun 70 timer! Herefter fulgte en lang række
af rekordberegninger, hvor computer videnskabsfolk fra Frankrig,
England og USA kæmpede om at komme før hverandre. Det kulminerede i
1973, hvor Jean Guilloud og M. Bouyer fandt
den første million af pi's decimaler. Op til dette tidspunkt var
. algoritmerne godt nok blevet forbedret og slebet til, men de fleste
fremskridt var sket på hardware niveau. For afgørende at komme videre
måtte nogle nye brilliante formler og algoritmer på banen! 
Lad
mig specielt fortælle en lille historie om Chudnovsky brødrene.
Nogle få mennesker koncenterer hele deres energi på en eller meget
få ting her i verden og bliver mestre i det de gør. Chudnovsky brødrene
er bare ét eksempel herpå. Talent er dog en forudsætning for at
nå målet: At blive den bedste indenfor ens felt. Gregory Chudnovsky
og David Chudnovsky er begge talteoretikere i verdensklasse,
og de har været i stand til at dykke ned i de meget komplekse problemstillinger
og opnå en større forståelse af både de anvendte formler og algoritmer
samt den computermæssige side af sagen.
